- •Омский государственный технический университет
- •Раздел 1. Классическая и релятивистская
- •Лекция 3. Динамика вращательного
- •3.1. Момент инерции
- •1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения –
- •Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
- •2. Момент инерции твёрдого тела относительно
- •Момент инерции i-той элементарной массы
- •Элементарные массы можно представить как
- •Соответственно момент инерции элементарной массы
- •Момент инерции однородного цилиндра m – масса, R - радиус, h – высота
- •Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
- •Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
- •Учтем, что масса цилиндра
- •Моменты инерции тел правильной формы
- •Толстостенный цилиндр
- •Теорема Штейнера позволяет вычислить моменты инерции тел относительно произвольных осей.
- •Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
- •3.2. Момент силы
- •Моментом силы относительно точки называется
- •Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
- •Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора, направленного
- •На рисунке показаны плечи d1 и d2 сил F1 и F2 соответственно.
- •Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки,
- •Рассмотрим случай, когда ось вращения закреплена.
- •Модуль момента силы относительно закреплённой оси
- •На рисунке показано вращение материальной точки (элементарной массы) в плоскости.
- •3.3. Момент импульса
- •Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая движения материальной точки.
- •2. Движение материальной точки по окружности.
- •Моментом импульса материальной точки
- •Модуль момента импульса относительно оси Z
- •Существует другое выражение для момента импульса.
- •Разобьем тело на материальные точки массой
- •Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех
- •Далее заметим, что момент инерции тела J равен алгебраической сумме моментов инерции всех
- •3.4. Основной закон динамики вращательного движения
- •Вычислим производную от вектора момента импульса по времени.
- •Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по
- •Момент инерции J твердого тела – постоянная величина. Вынесем её за знак дифференциала:
- •J εz Mz внеш.
- •Графическая интерпретация
- •Из законов динамики поступательного и вращательного движений следуют условия равновесия тел.
- •Равновесие может быть:
- •1)- устойчивое положение равновесия.
3.2. Момент силы
Тела вращаются под действием сил.
Вращательное действие силы зависит от модуля, направления силы, и от того, к какой точке тела она приложена.
Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы - М.
Момент силы:
-измеряется в Нм (ньютон - метрах);
-различают момент силы относительно точки вращения (векторная величина) и относительно оси вращения (скалярная величина).
Моментом силы относительно точки называется |
|
величина, равная векторному произведению |
|
радиус-вектора, проведенного из этой точки в |
|
точку приложения силы, на вектор силы. |
|
M |
|
F |
|
r |
M r F |
|
|
0 |
|
Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
F |
d |
O |
Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора, направленного
«от нас».
Модуль момента силы равен произведению величины силы на её плечо.
Плечо силы равно длине перпендикуляра, опущенного из точки вращения на линию действия силы.
M F rsin α Fd
d– плечо силы F.
На рисунке показаны плечи d1 и d2 сил F1 и F2 соответственно.
Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки, взятой на данной оси, на эту ось Z.
M |
Mz |
F |
|
r |
|||
|
|
MZ (r F)Z
Момент силы относительно оси – величина скалярная, не имеющая направления.
Модуль момента силы относительно оси может быть положительным или отрицательным в зависимости от величины угла α.
Рассмотрим случай, когда ось вращения закреплена.
Силу F следует представить в виде суммы трёх векторов:
F║ - направленного вдоль оси вращения,
F┴ - перпендикулярного оси вращения,
Fτ - направленного по касательной к окружности, вдоль которой движется точка приложения силы.
F F F F
|
F |
F |
|
|
|
0' |
R |
F |
|
F |
|
M |
r |
|
F FП F F
Умножим равенство слева и справа векторно на радиус- вектор. Получим равносильное равенство:
MM M M
Вданном уравнении не равен нулю только момент силы F .
Тогда |
|
|
|
|
|
||
|
|
M r F M |
|