- •Омский государственный технический университет
- •Раздел 1. Классическая и релятивистская
- •Лекция 3. Динамика вращательного
- •3.1. Момент инерции
- •1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения –
- •Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
- •2. Момент инерции твёрдого тела относительно
- •Момент инерции i-той элементарной массы
- •Элементарные массы можно представить как
- •Соответственно момент инерции элементарной массы
- •Момент инерции однородного цилиндра m – масса, R - радиус, h – высота
- •Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
- •Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
- •Учтем, что масса цилиндра
- •Моменты инерции тел правильной формы
- •Толстостенный цилиндр
- •Теорема Штейнера позволяет вычислить моменты инерции тел относительно произвольных осей.
- •Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
- •3.2. Момент силы
- •Моментом силы относительно точки называется
- •Рисунок показывает взаимное расположение векторов, если смотреть вдоль вектора момента силы.
- •Здесь и на последующих рисунках значком обозначено направление вектора, направленного
- •На рисунке показаны плечи d1 и d2 сил F1 и F2 соответственно.
- •Моментом силы относительно некоторой оси Z называется проекция момента силы относительно любой точки,
- •Рассмотрим случай, когда ось вращения закреплена.
- •Модуль момента силы относительно закреплённой оси
- •На рисунке показано вращение материальной точки (элементарной массы) в плоскости.
- •3.3. Момент импульса
- •Рассмотрим два часто встречающихся на практике случая движения материальной точки.
- •2. Движение материальной точки по окружности.
- •Моментом импульса материальной точки
- •Модуль момента импульса относительно оси Z
- •Существует другое выражение для момента импульса.
- •Разобьем тело на материальные точки массой
- •Момент импульса всего тела относительно точки О равен векторной сумме моментов импульсов всех
- •Далее заметим, что момент инерции тела J равен алгебраической сумме моментов инерции всех
- •3.4. Основной закон динамики вращательного движения
- •Вычислим производную от вектора момента импульса по времени.
- •Запишем такие же выражения для каждой точки вращающегося тела, а затем просуммируем по
- •Момент инерции J твердого тела – постоянная величина. Вынесем её за знак дифференциала:
- •J εz Mz внеш.
- •Графическая интерпретация
- •Из законов динамики поступательного и вращательного движений следуют условия равновесия тел.
- •Равновесие может быть:
- •1)- устойчивое положение равновесия.
Омский государственный технический университет
Кафедра физики
Калистратова Л.Ф.
кандидат физико-математических наук, доцент
Электронные лекции по дисциплине «Общая физика»
Раздел 1. Классическая и релятивистская
механика
6 лекций (12 аудиторных часов)
Темы лекций
1.Кинематика поступательного и вращательного движений.
2.Динамика поступательного движения.
3.Динамика вращательного движения.
4.Работа, энергия.
5.Законы сохранения.
6.Специальная теория относительности (СТО).
Лекция 3. Динамика вращательного
движения
План лекции
3.1.Момент инерции.
3.2.Момент силы.
3.3.Момент импульса.
3.4.Основной закон динамики вращательного движения.
3.1. Момент инерции
Момент инерции тела:
-характеризует инертные свойства тела (или материальной точки) при вращательном движении;
-скалярная величина;
-измеряется в кгм2;
-зависит от его формы, размеров, плотности, расположения оси вращения;
-не зависит от характера движения тела.
1.Момент инерции материальной точки относительно заданной оси вращения –
величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния её от оси вращения.
J m r2
r
m
Любое твёрдое тело состоит из множества материальных точек.
При вращении материальные точки движутся по окружностям разного радиуса.
Каждая материальная точка имеет свой момент |
2 |
|||
инерции: |
|
Ji |
mi |
|
|
r2 |
ri |
||
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
r1
m1
2. Момент инерции твёрдого тела относительно
заданной оси вращения равен скалярной сумме моментов инерций всех его материальных точек относительно этой оси:
|
|
n |
|
n |
|
||
J Ji |
|
J miri |
2 |
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Для нахождения момента инерции тела неправильной геометрической формы массу тела разбивают на
элементарные массы |
. |
Δmi |
Момент инерции i-той элементарной массы
запишется как
Ji mir2
ri - расстояние от элементарной массы Δmi |
до оси |
вращения. |
|
Момент инерции твёрдого тела при этом вычисляется как сумма моментов инерции его элементарных масс.
n |
n |
|
J Ji Δmiri |
2 |
|
i 1 |
i 1 |
|
Элементарные массы можно представить как
|
ρi |
|
Δmi ρi ΔVi |
|
|
|
где |
– плотность тела в данной точке, |
ΔV |
||||
|
объём |
|||||
элементарной массы. |
|
|
i |
|||
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
J ρiri2ΔVi |
|
|||
|
i 1 |
|
Эти соотношения являются приближенными.
Значение момента инерции будут тем точнее, чем меньше
элементарные объёмы |
и соответствующие им |
элементарные массы |
Δmi |
При бесконечно малых объёмах элементарные массы будут обозначаться как dm.
Соответственно момент инерции элементарной массы
запишется как |
dJ dmr2 |
|
Тогда для твёрдых тел правильной геометрической формы вычисление момента инерции тела
сводится к вычислению интеграла:
Jr2dm ρr2dV
Вкачестве примера вычислим момент инерции однородного цилиндра относительно оси, совпадающей с осью его симметрии.