Момент инерции однородного цилиндра m – масса, R - радиус, h – высота цилиндра
dr
h
Разобьем цилиндр на элементарные цилиндрические слои массой dm, расположенные в элементарных объемах dV.
Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии r от оси цилиндра.
Объём элементарного слоя равен:
dV h 2πrdr
dr
r
Поскольку цилиндр однороден, то плотность тела
ρ const .
R
J ρr2dV ρr2 h 2πrdr
0
R – радиус цилиндра.
Вынесем за знак интеграла постоянные величины:
R |
R4 |
|
J 2π h r3dr 2π h |
||
4 |
||
0 |
|
Учтем, что масса цилиндра
mρ V ρ π R2h
Витоге: момент инерции сплошного цилиндра
относительно оси, проходящей через его центр тяжести, запишется в виде:
J mR2 2
R
m
Моменты инерции тел правильной формы |
Аналогично рассчитываются моменты инерции любых |
тел правильной формы. |
Дальше приведены формулы моментов инерции |
некоторых тел правильной геометрической формы. |
Тонкий цилиндр и обруч |
R |
J m R 2 |
Толстостенный цилиндр |
|
1 |
R2 |
|
|
J 1 m R12 |
R 22 |
2 |
|
Шар |
J 2 m R 2 |
5 |
R |
Тонкий стержень
J 121 m l2
l |
Теорема Штейнера позволяет вычислить моменты инерции тел относительно произвольных осей.
Формулировка теоремы Штейнера: момент инерции
тела относительно произвольной оси (J) равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси (JO), и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (d).
o |
' |
|
c |
|
d |
o |
|
J J0 md2
Пример: момент инерции шара относительно оси АВ.
D B
d
CA
JAB JCD md2 52 mR2 mR2 75 mR2