Примеры решения задач
Задача № 1
В сосуде объёмом V = 1 л находится углекислый газ массой m = 0,2 г. При температуре T =2600 K некоторая часть молекул диссоциировала на молекулы кислорода и окиси углерода. При этом давление газа в сосуде оказалось равным 108 кПа. Определить какая часть молекул диссоциировала.
Дано: V = 1 л m = 0,2 г Т=2600 К Р=108 кПа |
α -? |
Рассмотрим уравнение диссоциации углекислого газа
Таким образом, каждый моль углекислого газа, распадаясь вызывает появление одного моля окисла углерода и половину моля кислорода. В результате распада части молекул в сосуде будут находиться три газа: CO2, CO, O2. По закону Дальтона найдём выражение для давления, создаваемого данной смесью газов
.
Введём степень диссоциации - отношение числа молей распавшихся молекул к начальному числу молей вещества . Тогда число молей CO2
,
число молей CO ,
число молей O2 (с учётом уравнения реакции) .
Из уравнения Менделеева–Клапейрона
, , .
Общее давление будет связано со степенью диссоциации уравнением
.
Так как ( = 44·10-3 кг/моль – молярная масса CO2) , то . Выражая и производя расчет, получим .
Ответ: степень диссоциации газа = 0,2.
Задача № 2
Используя функцию распределения Максвелла по скоростям, найдите наиболее вероятное значение кинетической энергии атомов гелия, который при давлении P = 105 Па имеет плотность =160 г/м3.
Дано: p = 105 Па г/м3 |
-? |
Запишем функцию распределения Максвелла по скоростям.
.
Поскольку нужно найти наиболее вероятное значение энергии, имеет смысл перейти от распределения по скоростям к распределению по энергиям f(). По смыслу функции распределения относительное число молекул скорости которых лежат в интервале скоростей , которому соответствует интервал энергий , равно
.
Из данного выражения можно получить соотношение связывающее две функции распределения: . Из формулы видно: для перехода от распределения по скоростям к распределению по энергиям недостаточно просто выразить скорость через энергию. Поскольку , , то производная , и выражения для распределения по энергиям будет иметь вид.
.
Наиболее вероятное значение энергии соответствует максимуму функции распределения. Соответственно производная должна быть равна нулю:
, ,
, .
Обращаем внимание, что выражение для наиболее вероятной энергии нельзя получить подставив в формулу выражения для наиболее вероятной скорости (в этом случае получилось бы ).
Из уравнения МенделееваКлапейрона следует, что , значит
(в последней формуле учтено, что R = NA·k). Подставляя данные из условия и молярную массу гелия = 4·10-3 кг/моль, получим Дж.
Ответ: наиболее вероятное значение кинетической энергии атома гелия Дж.
Задача № 3
Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой = 50 Гц. Радиус ротора a = 0,5 м. Определить давление газа на стенку ротора, если в его центре давление p0 = 105 Па. Температуру по всему объёму считать постоянной, равной Т=300 К.
Дано: = 50 Гц a = 0,5 м. p0= 105 Па. Т=300 К. |
p -? |
Рассмотрим находящийся в центрифуге цилиндрический слой воздуха бесконечно малой толщины dr, такой, что можно считать, что все молекулы данного слоя находятся на одинаковом расстоянии r от оси вращения.
Запишем для данного слоя второй закон Ньютона :
F = ma
Под силой F в данном случае нужно понимать разность сил давления действующих с внешней и внутренней стороны слоя
F = ((p+dp)-p)2r h = dp 2r h,
где произведение 2r h даёт площадь боковой поверхности слоя воздуха. Массу данного слоя можно получить, умножив плотность воздуха на объём слоя dV = 2r dr h; m = dV =2r dr h. Все молекулы данного слоя вовлечены во вращательные движения с угловой скоростью и находятся на одинаковом расстоянии r от оси вращения, следовательно, обладают одинаковым нормальным ускорением . Объединяя выражения, получим
dp =dr·
(в правой и левой части сокращён одинаковый множитель 2r h). Из уравнения Менделеева–Клапейрона следует . Подставляя в предыдущее выражение и разделяя переменные, получим .
Проинтегрируем полученное уравнение:
где А - некоторая постоянная интегрирования. Представим её в виде натурального логарифма от некоторой другой постоянной С:A = ln C. Тогда
или .
По условию задачи на оси центрифуги давление должно быть p0, это возможно только в случае, когда C= p0. Заменяя C на p0, определим давление как функцию расстояния до оси вращения:
.
Вспоминая, что , получим расчетную формулу для давления
.
Подставляя в последнюю формулу r = a = 0,5 м и молярную массу радона
= 0,222 кг/моль, вычислим давление газа на стенку центрифуги p = 3 105 Па.
Ответ: давление на стенку ротора p0 =3 105 Па.
Задача № 4
Стальной стержень длиной ℓ = 20 см с площадью поперечного сечения S = 3 см2 нагревается с одного конца до температуры t1 = 3000С, а другим концом упирается в лёд. Предполагая, что передача тепла происходит исключительно вдоль стержня (без потерь через стенки), подсчитать массу льда, растаявшего за время t = 10 мин. Теплопроводность стали = 60 Вт/(м∙К).
Дано: t1 = 3000С S = 3см2 t2 = 00С ℓ = 20см. = 10мин. = 60 Вт/м∙К |
m -? |
Найдём количество теплоты полученное льдом. Для этого запишем уравнение теплопроводности.
.
Считая, что поток тепла не изменяется со временем и постоянен в пределах сечения стержня, данную формулу можно записать в виде
.
Производная представляет собой градиент температуры в стержне. Так как длина стержня равна ℓ, а разность температур на его концах t1-t2, можно произвести замену . Знак минус в выражении Q можно не учитывать, так как он показывает, что направление переноса теплоты противоположно направлению возрастания температуры. С учётом этого количество теплоты получённое льдом:
.
Так как всё это количество теплоты идёт на плавление льда, Q = m ( = 3,3105 Дж/кг – удельная теплота плавления льда). Объединяя выражения и производя расчеты получим
Ответ: масса растаявшего льда m = 0,049 кг = 49 г.
Задача № 5
В результате некоторого процесса вязкость некоторого идеального газа увеличилась в раза, а коэффициент диффузии – в раза. Во сколько раз увеличилось давление газа.
Дано: = |
-? |
Согласно молекулярно кинетической теории,
, ,
где средняя длина свободного пробега, - средняя скорость движения молекул, =m0n- плотность газа.
По основному уравнению МКТ , поэтому . Подставим в выражение для значения , и , тогда
;
Из формул видно, что ~, значит, . Для того чтобы найти отношение , свяжем между собой и D. Из формул видно, что . Отсюда , а отношение . В итоге получаем отношение давлений .
Ответ: давление возрастет в два раза.
Задачи, рекомендуемые для аудиторных занятий
1. 12 г газа занимают объем 4 дм3 при температуре 70С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 0,6 мг/см3. До какой температуры нагрели газ?
Ответ: до 1400 К.
2. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 100С и давлении 1 МПа. Найти молярную массу смеси и объем сосуда.
Ответ: 4,6 г/моль; 12 дм3.
3. В двух сосудах емкостями 3 и 4 л находится газ под давлениями 0,2 и 0,1 МПа соответственно. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если соединить сосуды трубкой?
Ответ: 140 кПа.
4. В баллоне емкостью 150 см3 содержится газ при температуре 30 0С. Вследствие утечки из колбы вышло 4∙1018 молекул. Определить, на сколько понизилось при этом давление газа?
Ответ: 112 Па.
5. Плотность некоторого газа равна 6∙10-2 кг/м3, средняя квадратичная скорость молекул этого газа равна 500 м/с. Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.
Ответ: 5 кПа.
6. В баллоне емкостью 5 л находится 25∙1021 молекул азота. Найти среднюю квадратичную скорость его молекул, если давление в баллоне P = 720 мм рт.ст.
Ответ: 1100 м/с.
7. Найти число молекул азота в 1 см3 при нормальных условиях и обладающих скоростью: а) между 99 м/с и 101 м/с; б) между 499 м/с и 501 м/с.
Ответ: 8,6∙1018; 4,9∙1019.
8. Найти для газообразного азота температуру, при которой скоростям молекул υ1 = 300 и υ2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.
Ответ: 330 К.
9. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t = 00С.
Ответ: 5,5 км.
10. Вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при температуре 17 0С и нормальном давлении. Эффективный диаметр молекул воздуха принять равным 3∙10-8 см.
Ответ: 10-7 м.
11. Определить среднее число всех столкновений между молекулами, которые происходят в течение 1 с в 1 см3 кислорода при температуре 17 0С и давлении 5 мм рт. ст. Эффективный диаметр молекулы кислорода 2,9∙10-8 см.
Ответ: 2,27∙1024.
12. Найти среднюю длину свободного пробега азота, если его динамическая вязкость 17 мкПас, d = 0,3 нм.
Ответ: 0,09 нм.
13. Найти коэффициент теплопроводности воздуха при температуре 10 0С и давлении 100 кПа, если диаметр молекулы воздуха принять равным 0,3 нм.
Ответ: 13 мВт/(мּК).
14. Вычислить коэффициент диффузии и динамическую вязкость азота при давлении 0,1 МПа и температуре 7 0С.
Ответ:14ּ10-6 м2/с и 17ּ10-6 Паּс.