![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предварительные сведения
- •I. Символы и обозначения
- •III. Основные алгебраические соотношения
- •IV. Основные тригонометрические соотношения рис
- •Раздел 1. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц
- •1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами
- •1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Методы решения слау
- •Раздел 2. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Основные понятия
- •1.1. Геометрические векторы. Линейные операции
- •1.2. Проекция вектора на ось
- •§2. Координатное представление вектора
- •2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора
- •2.2. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Смешанное произведение векторов
- •2.5. Пространство .
- •Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости
- •Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Практические приемы отыскания уравнения прямой
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Поверхности второго порядка
Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости
Пусть задана
ДСК на плоскости. Уравнением
линии на плоскости
называется такое уравнение
с двумя переменными, которому удовлетворяют
координаты
каждой точки линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей на
этой линии. Переменные
в уравнении линии называются текущими
координатами точек линии.
Пример 1.1.
Доказать, что уравнение окружности
радиуса
с центром в начале координат имеет вид
.
(*)
Решение. Рассмотрим 3 случая
а) точка
лежит на окружности. Тогда по теореме
Пифагора получаем:
.
б) точка
– вне круга. Тогда
.
в) точка
– внутри круга. Тогда
.
| ||
а) |
б) |
в) |
Равенство (*)
выполняется для всех точек окружности
и не выполняется для других точек
плоскости. Т.о. (*) – искомое уравнение.
Уравнение линии
зависит от выбора системы координат.
Например, уравнение окружности радиуса
с центром в точке
имеет вид
Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угловым
коэффициентом
прямой на плоскости называется тангенс
угла наклона прямой к положительному
направлению оси
:
.
Возможны следующие случаи:
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим две
прямые
с угловыми коэффициентами
соответственно. Тогда угол
между прямыми можно найти по формуле
.
В частности:
|
|
|
|
Пример 1.2. рис
Найти уравнение прямой с угловым
коэффициентом
,
проходящей через точку
Решение.
Из рисунка следует, что
.
Т.е.
.
Отсюда имеем
или
.
Практические приемы отыскания уравнения прямой
|
название |
рисунок |
уравнение |
|
По точке и нормальному вектору
|
|
|
|
По точке и направляющему вектору
|
|
|
|
По точке и угловому коэффициенту |
|
|
|
По двум точкам |
|
|
|
В отрезках на осях |
|
|
|
Вертикаль |
|
|
|
Горизонталь |
|
|
Приведем
выводы первых двух уравнений.
1. Выберем произвольно
точку с текущими координатами
на прямой. Тогда вектор
перпендикулярен заданному вектору
.
По условию перпендикулярности (см.
приложение 2а скалярного произведения)
имеем:
,
т.е.
.
Далее
любой перпендикулярный прямой вектор
будем называть нормалью
прямой.
Полученное уравнение
можно записать в общем
виде
,
где обозначено
.
2. Выберем произвольно
точку с текущими координатами
на прямой. Тогда вектор
коллинеарен заданному вектору
(см. замечание к теореме о соответствии
мд.
в-рами и их коорд-ми при линейных
операциях),
т.е. их координаты должны быть
пропорциональны:
.
Далее любой параллельный прямой вектор будем называть направляющим прямую вектором, уравнение вида 2 – каноническим уравнением прямой.
Кривые второго порядка
Линии, определяемые уравнениями второй степени с двумя текущими координатами
называются кривыми второго порядка. Это уравнение на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой ее центром. Расстояние от точки окружности до центра называется радиусом окружности.
Напомним, уравнение
окружности радиуса
с центром в точке
имеет вид
,
уравнение окружности
радиуса
с центром в точке
:
.
Рис
Эллипс –
множество точек плоскости, сумма
расстояний от каждой из которых до двух
данных точек этой плоскости, называемых
фокусами,
есть величина постоянная, большая, чем
расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы
через
,
расстояние между ними через
,
сумму расстояний от произвольной точки
эллипса до фокусов через
.
По определению
.
Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на
оси
,
а начало координат совпадало с серединой
отрезка
.
Тогда фокусы имеют координаты
.
Пусть
–
произвольная точка эллипса. По определению
имеем
,
т.е.
.
Отсюда
.
Возведем обе части в квадрат, а затем уединим корень:
Возведем еще раз в квадрат и перегруппируем:
Обозначив
,
получим
– каноническое уравнение эллипса.
Числа
называютсяполуосями
эллипса. Степень «вытянутости» эллипса
характеризует эксцентриситет
.
Рис Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы
через
,
расстояние между ними через
,
модуль разности расстояний от произвольной
точки гиперболы до фокусов через
.
По определению
.
Выберем ДСК так, чтобы фокусы лежали на
оси
,
а начало координат совпадало с серединой
отрезка
.
Докажите самостоятельно, что уравнение гиперболы в этом случае имеет вид
,
где обозначено
.
Здесь
– действительная,
– мнимаяполуоси
гиперболы, прямые
называютсяасимптотами.
Эксцентриситет
.
Парабола –
множество точек плоскости, каждая из
которых одинаково удалена от данной
точки
,
называемойфокусом,
и данной прямой
,
называемойдиректрисой.
Расстояние
от фокуса до директрисы называетсяпараметром
параболы.
Выберем ДСК как указано на рисунке. Тогда уравнение параболы имеет вид:
.
3. 1.
Привести к каноническому виду уравнение
и построить кривую.
Решение. Т.к.
и
входят в уравнение с одинаковыми знаками,
но разными коэффициентами, то оно
описывает эллипс. Сгруппируем слагаемые
следующим образом
и, используя
известную формулу выделения полного
квадрата
,
выделим в выражениях в скобках полные
квадраты:
.
После преобразований, получим:
или
.
Это уравнение
эллипса с центром в точке
и полуосями
.рис
3. 2.
Привести к каноническому виду уравнение
,
построить кривую, найти координаты
фокусов.
рис
Решение. Разделив обе части уравнения на (-144), получим
.
Очевидно,
это уравнение гиперболы, однако переменные
и
«поменялись ролями» – коэффициент при
равен (-1), что следует учесть при
построении линии: фокусы этой гиперболы
расположены на оси
.
Чтобы найти их координаты, воспользуемся
равенством
.
Откуда
,
т.е.
.
3.
3. Найти
проекцию фокуса параболы
на прямую
.
Решение. Рис
Из уравнения параболы имеем:
,
т.е. координаты фокуса
.
Проекция
на
– точка пересечения
и прямой, проведенной из
перпендикулярно
(обозначим ее
).
Уравнение
представлено в каноническом виде, числа
являются координатами вектора,
направляющего прямую, он же является
нормалью к прямой
.
Используя уравнение прямой по точке
и нормали
(см…),
получим:
или
.
Координаты искомой
точки
пересечения прямых
и
должны удовлетворять их уравнениям,
т.е.
– решение системы
Первое уравнение
преобразуется на основании свойства
пропорции (произведение средних членов
равно произведению крайних) к виду
или
.
Решим полученную систему уравнений
,
например, по
формулам Крамера:
.
Ответ: