3. Линейные радиотехнические цепи.
Радиотехнические цепи - совокупность активных и пассивных элементов, соединенных для прохождения, изменения и преобразования электрических сигналов.
Пассивный элемент - передает, потребляет или накапливает электрическую (магнитную) энергию.
Активный элемент – вырабатывает или преобразует электрический сигнал одной формы в другую.
Элементы цепи могут быть соединены в двухполюсники, четырехполюсники или многополюсники.
Различают:
- цепи с сосредоточенными параметрами (размеры цепи гораздо меньше λ), свойства которых не зависят от конфигурации выводов,
- цепи с распределенными параметрами, элементы которых обладают активным сопротивлением, индуктивностью или емкостью,
- линейные цепи с постоянными параметрами (линейные цепи),
- линейные цепи с переменными параметрами (параметрические),
- нелинейные цепи.
Линейные цепи – это соединение активных и пассивных элементов, параметры которых не зависят от протекающих по ним токов и приложенных напряжений. Поэтому связь вход-выход цепи описывается дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
(3.1)
3.1. Методы анализа процессов в линейных цепях.
Известны следующие четыре метода анализа линейной цепи:
1. Классический метод основан на решении дифференциальных уравнений (3.1) и наиболее удобен при анализе прохождения импульсных сигналов, но сложен при уравнениях выше 3го порядка.
2. Спектральный метод. Свойства линейной цепи можно определить частотным коэффициентом передачи , определяемым из уравнения (3.1) при гармоническом входном сигнале , где
; (3.2)
- АЧХ линейной цепи;
φ(ω) - ФЧХ цепи.
Согласно спектральному методу, спектр выходного сигнала при известном равен
, (3.3)
а сам сигнал - обратному преобразованию Фурье
(3.4)
3. Операторный метод -является более общим, по сравнению со спектральным методом решения линейных дифференциальных уравнений (3.1), и заключается в замене мнимой частоты jω преобразования Фурье комплексной частотой р=α+jω, где α –вещественная величина.
Изображение преобразования Лапласа равно при t ≥0
(3.5)
Оригинал равен обратному преобразованию Лапласа
, (3.6)
В этом случае из уравнения (3.1) по аналогии с (3.2) можно получить операторный коэффициент передачи линейной цепи
, (3.7)
который, при делении полинома числителя на знаменатель, можно записать в виде произведения
(3.8)
Нули zi числителя и полюса pi знаменателя, определяемые коэффициентами an и bm, могут быть вещественными, либо комплексно-сопряженными парами и расположены в левой полуплоскости рис.3.1.
Рис.3.1. Нули zi числителя и полюса pi знаменателя.
Решение уравнения (3.1) операторным методом реализуют при условиях: uвх(t)=0 при t≤0;
-
uвых(0)=0, нулевые начальные условия.
Алгоритм нахождения выходного сигнала по входному при известном К(р)·:
- запись изображения входного сигнала uвх(t)→ Uвх(р);
- найти изображение выходного сигнала Uвых(р)=К(р)·Uвх(р);
- вычислить оригинал Uвых(р)→ uвых(t).
4. Метод интеграла Дюамеля.
Аналогом коэффициента передачи К(jω) (при гармоническом входном сигнале) в частотной области является импульсная характеристика h(t) во временной области, получаемая при входном воздействии в виде дельта-функции δ(t).
Для реальных линейных цепей (h(t)=0 при t<0) можно записать:
(3.9)
т.е. выходной сигнал равен свертке входного сигнала и h(t).
При этом известно прямое и обратное преобразование Фурье
(3.10)
(3.11)