![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предварительные сведения
- •I. Символы и обозначения
- •III. Основные алгебраические соотношения
- •IV. Основные тригонометрические соотношения рис
- •Раздел 1. Линейная алгебра
- •§1. Матрицы
- •1.1. Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц
- •1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами
- •1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Методы решения слау
- •Раздел 2. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы. Основные понятия
- •1.1. Геометрические векторы. Линейные операции
- •1.2. Проекция вектора на ось
- •§2. Координатное представление вектора
- •2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора
- •2.2. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное произведение векторов
- •2.4. Смешанное произведение векторов
- •2.5. Пространство .
- •Раздел 3. Аналитическая геометрия Уравнение линии на плоскости
- •Угловой коэффициент прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Практические приемы отыскания уравнения прямой
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •Поверхности второго порядка
Раздел 2. Векторная алгебра
§ 1. Векторы. Основные понятия
1.1. Геометрические векторы. Линейные операции
рис
Вектор –
отрезок с указанным на нем направлением.
Обозначается
или
.
Дина вектора (модуль) обозначается
или
.
Два вектора равны, если они имеют одинаковые длину и направление (т.е. при параллельном переносе вектор не меняется).
Вектор единичной длины называется ортом. Очевидно, на плоскости и в пространстве существует бесконечно ортов.
Мы изучим следующие операции над векторами:
линейные операции (сложение, вычитание, умножение вектора на число); скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение векторов.
Линейные операции над векторами
|
|
|
|
Правило
параллелограмма.
Сумма векторов
|
|
При
умножении
вектора
-на положительное число
его длина увеличивается в
раз, направление не меняется;
- на отрицательное
число
его длинаувеличивается
в
раз, направление меняется на
противоположное;
- на ноль – получаем нуль-вектор (направление не определено).
Свойства линейных операций
1.2. Проекция вектора на ось
Числовая
ось – прямая
с указанным на ней направлением, началом
отсчета и единицей масштаба.
Проекция точки
M
на
числовую ось – основание перпендикуляра
(точка
),
опущенного на эту ось.
Проекцией
вектора на
числовую ось называется число
,
где
– координаты начала и конца вектора
соответственно.
Свойства проекции
|
|
|
|
|
|
§2. Координатное представление вектора
2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора
Декартовой
системой координат
(ДСК)
в пространстве называется тройка
попарно перпендикулярных числовых
осей с общим началом и одинаковой
единицей масштаба. Обозначим
Декартовым базисом в пространстве будем называть тройку попарно перпендикулярных ортов. Задание ДСК равносильно заданию декартова базиса |
р |
Пусть
в пространстве задана ДСК и произвольный
вектор
,
причем его начало совпадает с началом
координат.
–проекции вектора
на оси координат.
Из рисунка имеем:
или
Таким
образом доказано: если в пространстве
задан декартов базис, то любой вектор
может быть представлен в виде суммы
,
где
–
проекции вектора на координатные оси.
Формула
называется
разложением
вектора по базису
,
числа
–координаты
вектора
в данном базисе.
Замечание. На плоскости справедливо представление вектора в виде
или
.
Пример
2.1. Найти
координаты вектора
приведенного
на рисунке.
Решение. I
способ. Найдем проекции вектора на
координатные оси:
|
|
II
способ. Параллельным переносом вектора
совмести его начало с началом координат.
Нетрудно убедиться, что согласно
правилу параллелограмма, вектор
|
|
Теорема. Линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их одноименными координатами:
Доказательство.
Пусть
–
координаты вектора
в данном базисе. Тогда
:
Остальное ()
доказывается аналогично.
В частности,
.
Правило «конец - начало»
рисРадиус-вектором
точки
Координаты точки будем называть координаты ее радиус-вектора. |
|
Справедливо утверждение
Доказательство.
Пример
2.2. Даны
координаты концов отрезка
:
и некоторое число
.
На отрезке
найти: координаты точки
такой, что
.
Решение.
Обозначим координаты
искомой точки
.
Тогда
Таким образом
.
В частном случае,
при
(деление отрезка пополам), имеем
.
Модуль вектора. Направляющие косинусы. Орт вектора
Зная координаты вектора в ДСК
можно найти его модуль как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда:
Пусть углы
вектора с осями
По
свойству проекции
или |
|
Из приведенных выражений нетрудно получить:
.
Обозначим орт
вектора
(вектор, имеющий то же направление и
единичную длину) через
.
Очевидно
или
.