1.3. Определитель. Действия над квадратными матрицами

Введем необходимые для дальнейшего изложения определения четных и нечетных перестановок..

Расположение чисел в каком-либо порядке называютсяперестановкой. Число перестановок из чисел равно(читается «эн-факто-риал» – произведение первыхнатуральных чисел).

Рассмотрим перестановку . Если, то говорят, что параобразуетинверсию. Перестановка называется четной, если она содержит четное число перестановок, и нечетной – в противном случае.

Из чисел 1, 2, 3 , например, существует перестановок:

1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.

При этом 1 2 3 – четная, т.к. в ней нет (ноль) инверсий, 2 1 3 – нечетная, т.к. содержит одну инверсию (2,1).

Определитель.

Каждой квадратной матрице по определенному правилу можно поставить в соответствие некоторое число – определитель (или детерминант) матрицы.

Пусть дана квадратная матрица порядка

. (1.1)

Рассмотрим произведения элементов этой матрицы таких, что каждая строка и каждый столбец имеют в них по одному представителю:

и т.д.

Такие произведения в общем виде могут быть записаны

. (1.2)

Здесь первые индексы (номера строк) расположены по возрастанию, вторые (номера столбцов)

(1.3)

образуют перестановку из чисел.

Определителем матрицы -го порядка (1.1) называется сумма произведений вида (1.2), взятых со знаком «+», если перестановка (1.3) четная, и со знаком «–» – в противном случае. (Определитель будем обозначатьилиили.)Порядком определителя будем считать порядок соответствующей ему матрицы.

Приведем формулы для вычисления определителей 1, 2, и 3 –го порядков:

Пример 1.3. Вычислить определитель матрицы .

Решение.

Алгебраическое дополнение.

Поставим в соответствие каждому элементу матрицы (1.1) некоторое число – его алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением элементаматрицыназывается определитель-го порядка, получаемый из вычеркиванием-й строки и-го столбца, взятый со знаком «+», если суммачетная, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.

Пример 1.4а. Найти алгебраические дополнения к элементам матрицы второго порядка.

Решение. Запишем матрицу в общем виде: . Тогда

Пример 1.4б. Найти алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы .

Решение.

Свойства определителей. (Здесь и далее строки и столбцы в общем будем называть рядами.)

. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.

. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно вынести за знак определителя.

. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

. (Правило своих дополнений.) Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

. (Правило чужих дополнений.) Сумма произведений элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

. .

. .

Пример 1.5а. Используя правило своих дополнений, вычислить определитель матрицы .

Решение. Применим свойство , например, к первой строке:. С учетом результатов примера 1.4б, получим:

.

Пример 1.5б. Вычислить определитель 4-го порядка .

Решение.

Вычисление определителя 4 порядка по определению довольно трудоемко (формула содержит слагаемых вида (1.2)), поэтому удобнее применить правило своих дополнений. По свойство , применённому к первой строке, имеем:

Здесь первый и второй определители 3-го порядка были вычислены в примерах 1.4б , 1.3 , третий и четвертый равны нулю, т.к. содержат пропорциональные столбцы (см. свойство определителей).

Обратная матрица.

Матрицы иназываютсявзаимно обратными, если . При этом будем обозначать.

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда– квадратная и(так называемаяневырожденная матрица). При этом

.

Доказательство. 1. Чтобы выполнялось равенство , матрицадолжна быть квадратной (см. замечание к пункту).

2. Пусть и при этом существует. Тогда, и, очевидно, должно выполняться равенство. Используя свойстваиопределителей, получим:

.

Пришли к противоречию, значит, если , тоне существует.

3. Формулу для нахождения обратной матрицы докажем на примере матрицы 2-го порядка (см. пример 1.4 а).

.

Аналогично доказывается равенство .

Пример 1.6. Найти матрицу, обратную матрице .

Решение. Согласно теореме для матрицы 3-го порядка .

Из результатов примеров 1.5а, 1.4б имеем:

.

Алгебраические дополнения к остальным элементам матрицы равны: .

Ответ: .