4.1. Метод замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций состоит в том, что вместо одной из плоскостей проекций вводится новая плоскость, перпендикулярная к другой плоскости проекций. На рис. 4.1 показана пространственная схема получения комплексного чертежа точки А в системе (П₁П₂). Точки А₁ и А₂ – горизонтальная и фронтальная проекции точки А, АА₁А_xА₂ – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна оси x (рис. 2.3).

Новая плоскость П₄ перпендикулярна П₁. При проецировании точки А на П₄ получим новую проекцию А₄, фигура АА₁А₁₄А₄ – прямоугольник, плоскость которого перпендикулярна новой оси x₁₄ = П₄  П₁. Для получения комплексного чертежа будем рассматривать фигуры, расположенные в плоскостях проекций. Поворотом вокруг оси x₁₄ совместим П₄ с П₁, затем поворотом вокруг оси x совместим П₁ (и П₄) с П₂ (на рис. 4.1 направления движения плоскостей П₄ и П₁ показаны штриховыми линиями со стрелками). Полученный чертеж приведен на рис. 4.2. Прямые углы на рис. 4.1, 4.2 помечены дугой с точкой, равные отрезки помечены двумя штрихами (противоположные стороны прямоугольников на рис. 4.1). От комплексного чертежа точки А в системе (П₁П₂) перешли к комплексному чертежу точки А в системе (П₁П₄), заменили плоскость П₂ на плоскость П₄, заменили А₂ на А₄.

На основе этих построений сформулируем правило замены плоскостей проекций (правило получения новой проекции). Через незаменяемую проекцию проводим новую линию проекционной связи перпендикулярно новой оси, затем от новой оси по линии проекционной связи откладываем отрезок, длина которого равна расстоянию от заменяемой проекции до старой оси, полученная при этом точка и есть новая проекция. Направление новой оси будем брать произвольно. Новое начало координат указывать не будем.

На рис. 4.3 показан переход от комплексного чертежа в системе (П₁П₂) к комплексному чертежу в системе (П₂П₄), а затем еще один переход к комплексному чертежу в системе (П₄П₅). Вместо плоскости П₁ введена плоскость П₄, перпендикулярная П₂, затем вместо П₂ введена плоскость П₅, перпендикулярная П₄. Используя правило замены плоскостей проекций, можно выполнить любое количество замен плоскостей проекций.

4.2. Определение расстояния между двумя точками

Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, соединяющего эти точки. Для определения расстояния между двумя точками А и В необходимо соединить их отрезком АВ (рис. 4.4), затем узнать длину этого отрезка. Отрезок общего положения не параллелен ни одной из плоскостей проекций. Длины проекций А₁В₁ и А₂В₂ меньше длины отрезка АВ. Для того чтобы узнать длину отрезка АВ, необходимо спроецировать его в натуральную величину и измерить эту проекцию, так как она равна отрезку АВ.

Введем новую плоскость проекций П₄ параллельно отрезку АВ и перпендикулярно П₁. При этом новая ось x₁₄ будет параллельна А₁В₁ (в противном случае прямая АВ и плоскость П₄ пересекутся). Угол наклона отрезка АВ к плоскости П₄ равен нулю, и АВ на П₄ проецируется в натуральную величину, т.е. А₄В₄ = АВ. Измерив отрезок А₄В₄, получим длину отрезка АВ.

Каждая из точек А₄ и В₄ строилась с использованием правила замены плоскостей проекций. Расстояние между А₁В₁ и x₁₄ не влияет на величину А₄В₄, и поэтому может быть взято произвольно. В результате введения П₄ выполнен переход от системы (П₁П₂) к системе (П₁П₄), в которой прямая АВ, проходящая через отрезок АВ, является линией уровня.

На плоскости П₄ (рис. 4.4) кроме А₄В₄ = АВ получили угол , который равен углу между АВ и плоскостью П₁, так как плоскость этого угла параллельна плоскости П₄. Если ввести новую плоскость П₅ параллельно АВ и перпендикулярно П₂, то новая ось x₂₅ будет параллельна А₂В₂. Получим А₅В₅ = АВ и угол , который равен углу между АВ и плоскостью П₂, так как плоскость этого угла параллельна плоскости П₅.