5.3. Прямая и плоскость занимают общее положение

Пусть даны плоскость и прямаяAB(рис. 5.4,a). В общем случае они имеют одну общую точку. Эта точка, принадлежащая прямой и плоскости, будет принадлежать и некоторой прямойnэтой плоскости. Заметим, что в плоскости через точку можно провести однопараметрическое множество прямых –. Выделив хотя бы одну из них, легко определим искомую точку. Следовательно, поставленная задача сводится к отысканию некоторой прямойn, принадлежащей заданной плоскости и пересекающей исходную прямуюAB.

Прямую nможно рассматривать как проекцию прямойABна заданную плоскость(в более широком смысле прямаяnесть отображение прямойABна плоскость). Для случая линейного проецирования прямыеnиABпринадлежат одной плоскости и являются конкурирующими относительно плоскости. Последнее используем для определения точки пересечения прямой и плоскости. Тогда алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

1. на заданной плоскости (CDE) проведем проекции прямойKL(рис. 5.4, б), конкурирующей с заданной прямойABотносительно плоскостейи Π₂; сначала находимK₂L₂, а затемK₁L₁; прямыеKLиABрасположены во фронтально-проецирующей плоскости;

2. находим точки M₁=K₁L₁A₁B₁иM₂A₂B₂пересечения проекций прямыхABиKL; точкаM(M₁,M₂) – искомая;

3. определяем видимость прямой и плоскости относительно плоскостей проекций.

Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение конкурирующих точек скрещивающихся прямых. Так, точки 1 и 2 находятся на скрещивающихся прямых AB и DE: 1DE_, 2AB. Их горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ совпадают. По фронтальным проекциям точек 1 и 2 при взгляде на плоскость П₁видно, что точка 1 (точка плоскости) находится над точкой 2 (точка прямой), то есть она закрывает точку 2 при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Следовательно, прямая AB на участкеM-2 расположена под треугольником CDE. Тогда горизонтальная проекция отрезкаM2 –M₁2₁будет невидимой. Она показана штриховой линией.

Невидимый участок на фронтальной проекции прямой AB установлен анализом положения точек 4 и 3 (4CE, 3AB), принадлежащих скрещивающимся прямым AB иCE. По горизонтальной проекции видно, что если смотреть на плоскость П₂, то невидимой будет точка 3, принадлежащая, прямой. Она ближе расположена к плоскости проекций П₂. На фронтальной плоскости проекций точка 4 закрывает точку 3. Вэтом месте прямая AB закрыта треугольником СDE. На П₂ невидимый участок M₂3₂ показан штриховой линией.

Задача на пересечение прямой и плоскости общего положения может быть сведена к одному из частных случаев, рассмотренных выше. Для этого прямую или плоскость нужно перевести в проецирующее положение. Ниже приведено решение (рис. 5.5), в котором методом замены плоскостей проекций в проецирующее положение переведена плоскость. На П₄определена проекцияM₄искомой точки, а затем по линиям связи установлены проекции точки и на исходных плоскостях проекций. Исходные данные взяты такими же, что и в предыдущей задаче. Поэтому установление видимости проекций прямой не рассматривается.