5. Первая и вторая позиционные задачи

Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.

5.1. Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек: а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости; б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость; в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность (несобственная), то прямая и плоскость параллельны.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы построить такую прямую, надо в плоскости задать прямую и параллельно ей провести нужную прямую.

Пусть плоскость задана треу-гольником Σ(ΔABC). Через точкуE(рис. 5.1) необходимо провести прямуюEF, параллельную плоскости Σ. Для этого через горизонтальную проекцию точки Е(Е₁) проведем горизонтальную проекциюE₁F₁искомой прямой па-раллельно горизонтальной проекции любой прямой, лежащей в плоскости Σ, например, прямойAB(E₁F₁//A₁B₁). Через фронтальную проекциюE₂точкиEпараллельноABпроводим фронтальную проекциюE₂F₂искомой прямойEF(E₂F₂//A₂B₂). ПрямаяEF параллельна плоскости Σ, заданной треугольникомABC.

Прямая будет также параллельна плоскости, если она лежит в плоскости, параллельной данной.

5.2. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью, называемая первой позиционной задачей, широко применяется в начертательной геометрии. Она лежит в основе решения следующих задач:

• на пересечение двух плоскостей;

• пересечение поверхности с плоскостью;

• пересечение прямой с поверхностью;

• взаимное пересечение поверхностей.

Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит найти точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости..

5.2.1. Плоскость занимает проецирующее положение

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, рис. 5.2), то фронтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать фронтальному следу плоскости и фронтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется фронтальная проекция M₂точкиM(точка пересечения прямойEFс фронтально-проецирующей плоскостью(ABC)), а затем ее горизонтальная проекция. ТочкаM₁определена из условия принадлежности точкиMпрямойEF.

Полагая, что плоскость представляет собой непрозрачный треугольник, установим видимость проекций прямойEF. На П₂ вся проекция прямойEFвидима, так как она не закрывается треугольником. На П₁участок прямой правееM₂невидим, так как он находится ниже плоскости при взгляде на П₁.

5.2.2. Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 5.3 изображена плоскость общего положения P (ABC) и горизонтально-проецирующая прямаяEF, пересекающая плоскость в точкеM.Фронтальная проекция точкиточкаM₂совпадает с точкамиE₂ иF₂, так какMпринадлежит прямой. Для построения горизонтальной проекции искомой точки пересечения проведем через точкуMв плоскости P прямую (например,KL). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем – горизонтальную. ТочкаMявляется точкой пересечения прямыхEFиKL.Так как точкаMодновременно лежит на прямойEFи в плоскости P (KLP), то она является точкой их пересечения.

Для установления видимости проекции прямой на П₁вводим конкурирующие точки 1 и 2. Так как точка 2 дальше удалена от плоскости П₁, то относительно П₁она будет видимой, а невидимой будет точка 1. Заметим, что точка 2 принадлежит прямойEF. Следовательно, в окрестности точек 1₁=2₁доM₁проекция прямой будет видимой. ВышеM₁проекция прямой будет невидимой. Невидимый участок проекции прямой показан штриховой линией.