14. Аксонометрические проекции

В переводе с греческого языка слово «аксонометрия» означает измерение по осям. Особенностью аксонометрического проецирования является то, что вместе с фигурой на плоскость проецируется и пространственная система координат, связанная с этой фигурой. При этом ни одна из осей системы координат не проецируется в точку. Использование аксонометрического проецирования позволяет повысить наглядность изображения фигуры.

Рассмотрим проекционную схему получения аксонометрической проекции простейшей фигуры – точки (рис. 14.1). ТочкаA и пространственная система координат Oxyz связаны координатной ломаной ОA_xA₁A, звеньями которой являются координатные отрезки OA_x = x_A, A_xA₁ = y_A, A₁A = z_A. Плоскость П' – аксонометрическая плоскость, s – направление проецирования. Все проецирующие прямые параллельны s. Если прямая s не перпендикулярна П', то имеем косоугольное проецирование и получим косоугольную аксонометрическую проекцию. Если прямая s перпендикулярна П', то имеем ортогональное проецирование и получим ортогональную (прямоугольную) аксонометрическую проекцию. В дальнейшем рассматривается ортогональное проецирование и ортогональные аксонометрические проекции.

На плоскости П' после проецирования получим: A' – аксонометрическая проекция точки A; O'x'y'z' – аксонометрическая система координат (проекция системы Oxyz); x', y', z' – аксонометрические оси (проекции осей x, y, z); A₁' – аксонометрическая проекция горизонтальной проекции точки A, или вторичная проекция точки A; O'A_x' A₁' A' – аксонометрическая координатная ломаная (проекция ломаной OA_xA₁A). Звенья аксонометрической координатной ломаной параллельны соответствующим аксонометрическим осям, так как параллельные прямые проецируются в параллельные прямые.

Пусть угол между осью x и осью x' (проекция x на П') равен , между y и y' – , между z и z' – . Если отрезок расположен на оси x или на линии параллельной оси x, то его угол наклона к плоскости П' равен , если – на оси y, то – , если – на оси z, то – . Тогда O'A_x' = OA_xcos, A_x'A₁' = A_xA₁cos, A₁'A' = =A₁Acos. Введем следующие обозначения: u = cos; v = cos; w = cos. Числа u, v, w называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям x', y', z' соответственно. Зная координаты точки A(x_A; y_A; z_A) и коэффициенты u, v, w, можно найти аксонометрические координаты точки A' (x_A';y_A';z_A'): x_A' = x_Au; y_A' = = y_Av; y_A' = y_Aw. Для коэффициентов искажения справедлива зависимость

u² + v² + w² = 2, (14.1)

которую принимаем без доказательства.

Поскольку проекции фигуры на параллельные плоскости равны, то вместо П' (рис. 14.1) можно взять любую плоскость ей параллельную. Для повышения наглядности ортогональных аксонометрических проекций положительные полуоси осей x, y, z располагают в одном полупространстве относительно аксонометрической плоскости, проведенной через начало координат (рис. 14.1, точка O). При этом углы , ,  будут более нуля, но менее девяноста градусов. Тогда коэффициенты u, v, w (косинусы этих углов) будут менее единицы, но более нуля.

Если известны коэффициенты искажения u, v, w, то легко найти углы , ,  ( = arcos u,  = arcos v,  = arcos w). Зная коэффициенты искажения u, v, w и определив по ним углы , , , можно найти углы между аксонометрическими осями. Формула (1.1) для расчета проекции угла, которая при проецировании прямого угла ( = 90⁰) на плоскость П' (₁ =  ') имеет вид

cos ' = – tgtg. (14.2)

Например, угол между осями x и y равен 90, т.е. (x,y) = 90, он проецируется на плоскость П' в угол между осями x' и y'. По формуле (14.2) cos(x',y') = – tgtg, где  – угол между x и x' ,  – угол между y и y'. По величине косинуса найдем угол между аксонометрическими осями x' и y'. Аналогично можно найти и два других угла.

Обратим внимание на то, что углы между аксонометрическими осями более 90 (тупые), т.е. прямые углы между осями проецируются в тупые углы между аксонометрическими осями. Действительно, в формуле (14.2) тангенсы острых углов более нуля, значит, косинус проекции угла отрицателен, т.е. проекция угла более 90.

Рассмотрим построение аксонометрической проекции точкиA по комплексному чертежу этой точки (рис. 14.2). Пусть на аксонометрической плоскости П' известно положение осей x', y', z' и известны коэффициенты искажения по этим осям u, v, w (рис. 14.3). Обратим внимание на то, что на рис. 14.3 аксонометрическая плоскость является плоскостью чертежа. Ось z' всегда располагается вертикально. Замерив на комплексном чертеже соответствующие отрезки, узнаем координаты x_A, y_A, z_A. Умножим координаты на коэффициенты искажения, построим аксонометрическую координатную ломаную OA_x'A₁'A' и аксонометрическую проекцию точки A – точку A'. Если какая – либо координата менее нуля (отрицательная), то аксонометрический координатный отрезок (звено аксонометрической координатной ломаной) откладывается в противоположную сторону относительно положительного направления, указанного стрелкой на аксонометрической оси.