7.1. Перпендикулярность двух прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

Задача. Даны прямая АВ и точка С. Построить прямую, проходящую через точку С и пересекающую АВ под прямым углом (рис. 7.1).

Решение задачи основывается на построениях, приводящих к проекционному изображению условий теоремы о проекции прямого угла (см. рис. 6.2).

Алгоритм решения в символической записи будет следующим:

1) х₁ // А₁В₁;

2) (А₂В₂, А₁В₁)  А₄В₄; (С₂, С₁)  С₄;

3) С₄D₄ ^ А₄В₄;

4) D₄  D₁  А₁В₁; D₁  D₂ Î А₂В_2.

С₁D₁, C₂D₂ – решение задачи.

Задача. Даны прямая АВ и точка D (рис. 7.2).

Построить прямую, проходящую через точку

D, перпендикулярную прямой АВ и образующую

с ней кратчайшее расстояние R, где R < (D, AB);

 – расстояние между фигурами, указанными в

скобках.

Из условия задачи следует, что заданная и искомая прямая – скрещивающиеся. Концы отрезка кратчайшего расстояния R образуют два множества точек: прямую АВ и цилиндрическую поверхность вращения с осью АВ. Из точки D можно провести лишь две прямые, касательные к цилиндрической поверхности и образующие угол 90° с прямой АВ. Алгоритм решения данной задачи в символической записи имеет вид:

1) х₁ // А₁В₁;

2) (А₂В₂, А₁В₁)  А₄В₄; (D₁, D₂ )  D₄;

3) х₂ ^ А₄В₄;

4) (А₁В₁, А₄В₄ )  А₅ = B₅; (D₁, D₄ )  D₅;

5) D₅C₅ – касательная к окружности радиуса R; D₄C₄ ^ А₄В₄;

6) (C₅, C₄ )  C₁; (C₄, C₁)  C₂.

C₂D₂, С₁D₁ – одно из двух решений задачи.

7.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямойt  Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.

Построить прямую t по условиям: t ' E, t ^ Σ (рис. 7.4).

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h₂ // х, f₁ // x;

2) строятся проекции t₁ и t₂ искомой прямой t, где t₂ ' Е₂, t₂ ^ f₂; t₁ ' E₁, t₁ ^ h₁. В итоге t₁ , t₂ – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.

Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h₁,h₂) и f(f₁,f₂), проходящих через точку Е: h₂ ' E₂, h₂ // х, h₁ ' E₁, h₁ ^ t₁ ; f₁ ' E₁, f₁ // х, f₂ ' E₂, f₂ ^ t₂ . Плоскость (h , f ) – решение задачи.