Геологи(1 курс). Математика. / Тема_01_ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
.DOC
ВЕКТОРЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Аналитическая геометрия изучает геометрические образы (точки, прямые, плоскости, поверхности и т.д.) при помощи аналитического метода. В основе этого метода лежит метод координат Рене Декарта (французский математик 1596-1650), позволяющий ввести соответствия между основными понятиями геометрии (точки, прямые, плоскости) и упорядоченными тройками вещественных чисел. Изучение свойств и взаимного расположения геометрических образов в аналитической геометрии сводится к изучению описывающих эти образы уравнений с привлечением методов алгебры и математического анализа.
I. Вектор, геометрическое определение вектора. Равные векторы.
Пусть на некоторой прямой заданы две точки A и B . Тем самым выделен отрезок AB этой прямой с концами в точках A и B.
Можно считать, что точка A - начало отрезка, B - конец. Тогда мы зададим так называемый направленный отрезок, определяемый упорядоченной парой точек.
Определение . Направленный отрезок (упорядоченную пару точек) называют вектором. Вектор обозначается или . Если точки A и B совпадают, то говорят, что вектор нулевой или нуль-вектор .
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается .
В екторы называются коллинеарными, если они имеют общую параллельную прямую. При совмещении начал коллинеарных векторов они оказываются лежащими на одной прямой.
В екторы называются компланарными, если они параллельны одной и той же плоскости. При совмещении начал компланарных векторов они оказываются лежащими в одной плоскости.
Теперь можно ввести следующее определение: два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.
, если
, хотя но
Из определения равенства векторов следует, что каждый вектор можно перенести в любое место параллельно самому себе и не изменить его. Тем самым мы ввели так называемый свободный вектор, задать который - значит задать его модуль и направление. Многие физические величины характеризуются не только числовым значением, но и направлением, и, следовательно, являются векторными (сила, скорость, перемещение, магнитная индукция...).
II. Линейные операции над векторами, их свойства.
Понятие о линейном пространстве.
К линейным операциям над векторами относятся сложение векторов и умножение вектора на скаляр.
Сложение двух векторов выполняется по правилу параллелограмма: сумма двух векторов представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на равных им векторах.
Сумма нескольких векторов определяется как вектор, замыкающий ломаную линию, звеньями которой служат векторы-слагаемые, и направленный из начала первого вектора в конец последнего.
Определение: произведением вектора на вещественное число называется
такой вектор , что 1)
2) вектор коллинеарен ,
3) векторы и направлены одинаково,
если ,
и противоположно, если :
,если , ,если .
Вектор называется противоположным вектору . Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: .
Вычитание векторов - операция, обратная сложению:
Перечислим свойства введенных нами линейных операций:
1 ) коммутативность сложения: ;
2) ассоциативность сложения: ;
3) существование нуль-вектора: ;
4) существование противоположного вектора: ;
5) дистрибутивность сложения по отношению к умножению на число:
6) дистрибутивность сложения:
A B C D E
7) ассоциативность умножения: т.к.
8) существование единицы: это следует из определения
операции умножения.
Пространство, для элементов которого вводятся операции сложения и умножения на число, обладающие свойствами (1)-(8), называют линейным (векторным) пространством. Элементы линейного пространства обычно называют векторами.
III. Разложение вектора по базису. Координаты вектора.
Пусть заданы векторы и числа Составим комбинацию из этих векторов, используя только введенные линейные комбинации сложения и умножения вектора на число. В самом общем случае она имеет вид: . Такие комбинации называются линейными комбинациями векторов , а числа - коэффициентами линейной комбинации.
Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.
Пусть дан ненулевой вектор . Покажем, что любой коллинеарный ему вектор может быть представлен в виде единственным образом.
По определению операции умножения вектора на число векторы и коллинеарны, следовательно, коллинеарны и векторы и . Одинаковое направление векторов и обеспечивается выбором знака числа . Наконец, из равенства модулей равных векторов следует, что . Единственность представления следует из того, что при умножении вектора на другое число получается новый вектор: при .
Теорема 1. Любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам и единственным образом.
Доказательство: В общем случае отложим все три вектора из общей точки О. Из конца вектора (точки А) проведем прямые АР и AQ, параллельные векторам и . Тогда по правилу параллелограмма
.
Вектор коллениарен вектору и, следовательно, единственным образом может быть представлен в виде . Вектор коллинеарен вектору , поэтому . Тогда - единственное разложение вектора по векторам и .
Неколлинеарные векторы и , взятые в определенном порядке, называются базисом на плоскости, а коэффициенты линейной комбинации 1 и 2 - координатами вектора в базисе и .
Т
.
Некомпланарные векторы образуют базис пространства. Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе .
Таким образом, в пространстве с выбранным базисом нам удалось каждому вектору поставить в соответствие тройку чисел - его координат. Теперь при выполнении введенных линейных операций над векторами можно заменить геометрические построения аналитическими выражениями.
Пусть
тогда
и
Таким образом, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, если они определены относительно одного и того же базиса.
IV. Линейная зависимость векторов. Размерность линейного пространства.
Запишем линейную комбинацию векторов Она называется тривиальной, если все ее коэффициенты одновременно равны нулю, то есть , и нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Определение: векторы называют линейно зависимыми, если можно найти их нетривиальную комбинацию, равную нулю:
при .
Определение: если для векторов обращается в нуль только их тривиальная комбинация, то такие векторы называют линейно независимыми:
при .
Векторы линейно зависимы, если хотя бы один из них можно представить как линейную комбинацию остальных. Пусть , тогда
Тогда на основании доказанных выше теорем оказывается, что линейно зависимыми являются любые два коллинеарных вектора (), любые три компланарных вектора () и любые четыре вектора в пространстве (). В свою очередь линейно независимыми всегда являются базисные векторы, т.е. два неколлинеарных вектора на плоскости и три некомпланарных вектора в пространстве.
Определение: количество векторов, образующих базис линейного пространства, называют размерностью этого пространства.
Размерность определяется наибольшим числом линейно независимых векторов пространства. Линейное пространство, имеющее размерность n, принято обозначать .
V. Системы координат.
Определение: декартовой системой координат называются совокупность точки и базиса.
Точка О называется началом координат,
Ox,Oy,Oz - координатными осями,
Oxy,Oyz,Oxz - координатными плоскостями.
Декартова система координат, базисные векторы которой взаимно перпендикулярны и имеют единичные длины, называется декартовой прямоугольной системой, а ее базис – ортонормированным.
Координатами точки А в выбранной cистеме координат называются координаты радиус-вектора этой точки в этой системе координат.
Если заданы координаты точек и , то можно найти выражение для координат вектора .
Из рисунка 6 следует, что , тогда . Если , то - координаты вектора .
На практике пользуются и другими системами координат, например, косоугольной декартовой, полярной, цилиндрической, сферической и др.