Геологи(1 курс). Математика. / Тема_02_СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
.DOC
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
I. Определение скалярного произведения. Понятие о евклидовом пространстве.
Введем понятие угла между векторами. Пусть даны два ненулевых вектора и . После совмещения их начал они образуют на плоскости два угла и . Углом между векторами называют тот из углов, который не превосходит .
На рисунке это угол .
Определение: скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
. (1)
Если один из векторов или нулевой, то угол между векторами не определен, а скалярное произведение считается равным нулю.
Понятие скалярного произведения родилось в механике. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа силы определяется равенством: .
Линейное пространство, для элементов которого определена операция скалярного произведения, называют евклидовым пространством. Евклидово пространство размерностью n принято обозначать буквой .
II. Геометрические свойства скалярного произведения.
Условия перпендикулярности двух векторов.
Знак скалярного произведения позволяет оценить взаимное расположение перемножаемых векторов, если среди них нет нулевых.
Если , то, поскольку , и, следовательно, угол между векторами острый ().
Если , то , и угол между векторами тупой.
Если же , то , т.к. , т.е. векторы ортогональны ().
И обратно, если векторы ортогональны, то .
Таким образом, нами доказана следующая теорема:
необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Указанное геометрическое свойство скалярного произведения проиллюстрировано следующим примером из механики.
-
движущая сила
-
сила сопротивления -
сила не производит работу
III. Алгебраические свойства скалярного произведения.
К алгебраическим свойствам скалярного произведения относятся следующие:
1) коммутативность - непосредственно следует из определения, т.к. не различаются углы между векторами и и векторами и ;
2) ассоциативность:
,
, т.к. векторы и коллинеарны;.
3) дистрибутивность: .
4) , если - ненулевой вектор
, если - нулевой вектор.
Из формулы (1) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Отсюда и вытекает справедливость свойства (4).
Свойства (2) и (3) отражают линейность скалярного произведения и имеют фундаментальное значение, т.к. позволяют проводить операции с векторными многочленами по обычным правилам алгебры.
Пример . Вычислить , если
.
IV. Выражение скалярного произведения через координаты.
Пусть векторы и заданы своими координатами в ортонормированном базисе . Это значит, что могут быть записаны следующие разложения
Найдем скалярное произведение векторов:
в силу свойств (2) и (3) можно раскрыть скобки и записать
Вычислим скалярные произведения базисных векторов. Поскольку базис ортонормированный, то длины векторов , а углы между ними .
В общем случае условием ортонормированности базиса является требование
, где символ Кронекера .
Тогда скалярное произведение векторов через их координаты можно записать
. (2)
Все выкладки можно записать с помощью так называемых "немых" индексов:
.
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат в ортонормированном базисе.
V. Длина вектора, угол между векторами. Проекция вектора на ось.
Полученное выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе (2) и знание геометрических свойств скалярного произведения позволяют получить выражения через координаты векторов для их длин и углов между ними.
Квадрат длины любого вектора равен скалярному квадрату
.
Тогда длина вектора (3)
Из определения скалярного произведения (1) можно получить выражение для косинуса угла между векторами
(4)
Условие ортогональности векторов и может быть записано в виде
или
В
Если
через конец вектора
про- вести
прямую, перпендикулярную оси Ox,
то получившийся вектор
называется ортогональной проекцией
вектора
на ось Ox,
а вектор
- ортогональной составляющей вектора
,
причем
.
Если ось Ox задается некоторым вектором , то ортогональная проекция вектора на эту ось может быть найдена с помощью скалярного произведения. Из получим , тогда
. (5)
Вектор коллинеарен вектору и имеет длину равную и может быть представлен в виде Здесь вектор - единичный вектор в направлении оси Ox .
Необходимо еще раз подчеркнуть, что соотношения (2), (3), (4) и (5) получены нами в предположении, что векторный базис является ортонормированным. В противном случае эти соотношения недействительны.
Пример: Пусть (базис нормирован), но . Тогда
Найдем, чему равны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат:
Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям этого вектора на соответствующие оси координат.
Косинусы углов между вектором и базисными векторами называют направляющими косинусами, они могут быть найдены по следующим формулам:
(6)
Задание векторов с помощью направляющих косинусов широко используется в теоретической механике.