9. Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события

1.Теоремы сложения вероятностей Пусть даны два события Aи B требуется определить вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Теорема 4. Если события A и B несовместные, то вероятность появления одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей данных событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Следствия: Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, . Если события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Пример 4. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется или красным или синим. Решение: События A и B несовместные Событие A -{извлеченный шар синий}; Событие B – {извлеченный шар красный}; . Теорема 5. Если события A и B совместные, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий (сумма) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Пример 6. Вероятность попадания в цель первого и второго стрелка соответственно равны 0,4 и 0,5. Найти вероятность попадания при одном выстреле хотя бы одного из стрелков (стрелки делают выстрел одновременно). Решение: Событие A - {1-й стрелок попал}; Событие B - {2-й стрелок попал}; . Замечание 1: При использовании этой формулы следует иметь в виду, что А и В могут быть зависимыми, так и независимыми. Для независимых событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В). Для зависимых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)РА(В). Замечание 2: Если А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и следовательно Р(АВ)=0 и Р(А+В)=Р(А)+Р(В) и следовательно вновь получили теорему о несовместных событиях. 2. Вероятность появления хотя бы одного события В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию. О.1 Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Пусть события попарно независимы и их вероятности известны и равны соответственно , тогда вероятности противоположных им событий будут равны . О.2 Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Пусть в результате испытания могут появиться n событий независимых в совокупности, причем вероятность каждого известна. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий. Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е. . Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий .

События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно сумма их вероятностей равна 1.

Частный случай: Если события имеют одинаковую вероятность р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Пример 7. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение: Вероятность попадания в цель каждого из орудий не зависит от результата стрельбы из других орудий, поэтому рассмотрим событие А1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и А3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Если , тогда - вероятности событий противоположным событиям А1, А2, А3 (т.е. вероятности промахов). q1 = 1- 0,8 = 0,2 q2= 1- 0,7 = 0,3 q3 = 1- 0,9 = 0,1

Искомая вероятность Р(А) = 1 - q1q2q3 Р(А) = 1 – 0,2*0,3*0,1 = 0,994