- •1. Что изучает теория вероятностей
- •2. Испытание. Событие. Классификация событий
- •3. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности
- •4. Относительная частота события. Статистическое определение вероятности
- •5. Понятие комбинаторики. Основные правила комбинаторики
- •6. Основные комбинаторные соединения
- •7. Алгебра событий
- •8. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей
- •9. Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события
- •10. Формула полной вероятности
- •11. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •12. Формула Бернулли
- •13. Формула Пуассона
- •14. Наивероятнейшее число появления события
- •15. Понятие и виды случайных величин
- •16. Закон распределения вероятностей дсв. Способы задания
- •17. Биноминальное распределение
- •18. Пуассоновское распределение
- •19. Геометрическое распределение
- •20. Гипергеометрическое распределение
- •21. Математическое ожидание дсв и его свойства
- •22. Дисперсия дсв и её свойства. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратическое отклонение
- •23. Функция распределения вероятностей и её свойства
- •24. Плотность распределения вероятностей и её свойства
- •25. Числовые характеристики нсв
- •26. Равномерное распределение и его свойства
- •27. Показательное распределение и его свойства
- •28. Нормальное распределение и его свойства
- •29. Правило трёх сигм. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •30. Закон больших чисел
- •31. Задачи математической статистики
- •32. Выборочный метод
- •33. Типы выборок и способы отбора
- •34. Вариационные ряды
- •35. Эмпирическая функция распределения
- •36. Полигон и гистограмма
- •37. Точечные оценки параметров распределения
- •38. Генеральная и выборочная средние
- •39. Генеральная и выборочная дисперсии
- •40. Оценка генеральной средней по выборочной средней
- •41. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
- •42. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения
- •43. Метод наибольшего правдоподобия для точечной оценки параметров распределения
- •44. Интервальные оценки параметров распределения
- •45. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •46. Виды зависимостей между случайными величинами
- •47. Выборочные уравнения регрессии
- •48. Коэффициент корреляции
- •49. Линейная корреляция
- •50. Статистическая гипотеза
- •51. Виды ошибок
- •52. Статистический критерий. Критическая область
- •53. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
- •54. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
29. Правило трёх сигм. Центральная предельная теорема Ляпунова
Центральная предельная теорема Ляпунова
Теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.
Правило трёх сигм
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:
Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:
Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трех сигм.
30. Закон больших чисел
Поскольку на практике сведения о каждой случайной величине, чаще всего, являются очень скромными и уверенно предсказать какое возможное значение она примет затруднительно, то может показаться, что нельзя установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. Оказывается, что это не так. Закон больших чисел в широком смысле – это общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных величин приводит, при некоторых сравнительно широких условиях, к результату, почти независящему от случая, т.е. при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью точности. Терема 1. (неравенство Маркова) Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения, то для любого числа выполняется неравенство: Для события , противоположного событию , неравенство Маркова может быть записано в виде: Теорема 2. (неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше любого числа , не меньше чем , т.е. .
Для события , противоположного событию , неравенство Чебышева может быть записано в виде: . Теорема 3. (теорема Чебышева) Если - попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства: будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Замечание 1. Теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии и являющиеся независимыми, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым. Теорема 4. (частный случай теоремы Чебышева) Если - попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидание a, и их дисперсии равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C), то, как бы мало ни было , вероятность неравенства:
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико. Сущность теоремы Чебышева: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу .Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало. Значение теоремы Чебышева для практики: При измерении некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. Теорема Чебышева указывает условия, при которых указанный способ может быть применен. На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов. Пусть выполнены условия схемы независимых испытаний Бернулли, причем n достаточно велико. Теорема 5. (теорема Бернулли) Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p события A постоянна, то вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, будет как угодно близка к единице если число испытаний достаточно велико. Сущность теоремы Бернулли: теорема Бернулли позволяет предвидеть, какова примерно будет относительная частота появления события.