16.3. Распределение Максвелла

     Вид функции распределения может быть установлен с помощью формальных рассуждений, не связанных с исследованием особенностей взаимодействия молекул газа между собой. Рассмотренный ниже подход был предложен Максвеллом в 1859 году.

     Введем пространство скоростей. Скорость любой молекулы газа можно представить через её проекции,ина соответствующие оси системы координат в пространстве скоростей. Если указанные значения отложить по осям,ипрямоугольной системы координат, то можно построить пространство скоростей, каждая точка в котором будет соответствовать определенному набору проекций скорости молекулы газа (см. рис. 16.2).

Рис. 16.2. Пространство скоростей

     Далее сделаем предположение, что вероятности попадания значений проекций скорости молекулы ,ив соответствующие интервалы,ине зависят друг от друга, то есть значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами. Тогда по аналогии с формулой(16.10) функцию распределения можно представить в виде:

     

,

(16.24)

     где ,и- функции распределения значений соответствующих проекций скорости,и, причем вид этих функций должен быть одинаковым, так как все оси системы координат в пространстве скоростей равноправны.

Максвел получил, что , функция распределения значений проекции скоростиопределяется выражением:

,

(16.25)

     а функция распределения молекул газа по скоростям соответственно имеет вид

     

(16.26)

     или

     

.

(16.27)

     Функции (16.25)и(16.26)(или(16.27)) называются функциямираспределения Максвелла. Качественно вид функции (16.25), изображенной на рис. 16.3, совпадает с нормальным законом распределения Гаусса, описывающим распределение ошибок измерений случайной величины.

Рис. 16.3. Распределение Максвелла

     Кроме полученного выше распределения Максвелла часто при проведении расчетов используется распределение по абсолютным значениям скоростей молекул газа.

(16.28)

     называется функцией распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей, и она показывает вероятность того, что величина скорости имеет значения от до.

     На рис. 16.4 изображен график функции распределения . Максимум этой функции соответствует наиболее вероятному значению скорости молекул газа, которую можно определить, приравняв к нулю производную от функции:

.

(16.29)

     Отсюда следует, что кроме случаев когда и, соответствующих минимуму функции, имеется решение

,

(16.30)

дающее выражение для наиболее вероятной скорости молекул газа.

Рис. 16.4. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей

     Кроме наиболее вероятной скорости, функция позволяет найти среднюю скорость

(16.31)

и среднее значение квадрата скорости

.

(16.32)

     Вычисление интегралов окончательно дает выражения для средней скорости

(16.33)

     и для средней квадратичной скорости молекул

.

(16.34)

     Формула (16.34) для средней квадратичной скорости может быть также получена на основании формулы, описывающей среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа (см. лекцию №12).

     Полученные значения скоростей численно отличаются друг от друга на величину, меньшую, чем их значения, причем , что проиллюстрировано на рис. 16.4.

Кроме функции распределения по абсолютным значениям скорости применяется функцияраспределения по значениям кинетической энергии поступательного движения молекул , характеризующая вероятность попадания значений кинетической энергиив интервал:

.

(16.35)

     Эти распределения справедливы только для равновесного состояния термодинамической системы. Вследствие достаточно общего метода их получения, они применимы не только для газов, но и для любых систем, движение микрочастиц которых описывается уравнениями классической механики.