Desktop_1 / Лекции 1 симестр / МОЛФИЗИКА15

Лекция №15

Молекулярная физика и термодинамика

Уравнение адиабаты, политропические процессы, работа совершаемая идеальным газом при различных процессах, Ван-дер-ваальсовский газ. Внутренняя энергия Ван-дер-ваальсовского газа

15.1. Уравнение адиабаты

В ходе какого либо прцесса газ кроме основного уравнения состояния (уравнение Клайперона-Менделеева) подчиняется дополнительному условию определяемому характером процесса. Так например в ходе изобарического процесса для идеального газа выполняется условие Р=const или, что соответствует V/T=const, в ходе изохорического процесса V=const (P/T=const). При изотермическом процессе T =const (PV=const).

PV=const называется уравнением изотермы идеального газа, а кривая определяемая этим уравнением называется изотермой.

Адиабатическим называется процесс без притока и отвода тепла во вне. Найдем уравнение связывающие параметры идеального газа при адиабатическом процессе. Возьмем уравнение первого начала термодинамики и подставим в него выражение для для внутренней энергии и работы совершаемой газом.

Выразим Р через V и T, используя уравнение Клайперона-Менделеева.

Подставим это выражение в условие и получим

Преобразуя получим:

Отсюда следует

Где γ = С_р/С_V

Это уравнение адиабаты идеального газа в переменных T, V. Мы можем перейти к уравнению в переменных Р,V. Заменим в нем Т выраженным из уравнения Клайперона-Менделеева.

Подставим это выражение в уравнение адиабаты и получим (Рис.15.1):

Рис.15.1

15.2. Политропические процессы

Политропическими процессами назыаются процессы, при которых теплоемкость тела остается постоянной. С=const.

Получим уравнение политропы для идеального газа. Запишем первое начало термодинамики для одного моля газа, представив Q в виде CdT а dU – в виде C_VdT

Возьмем уравнение состояния для одного моля идеального газа и возьмем дифференциал от обеих частей уравнения

Исключим из этих двух уравнений dT и произведя приведение подобных членов получим:

Учитывая, что C_V+R=C_p и разделив уравнение на PV получим

Интегрирование этого уравнения приводит к соотношению

Разделим это равенство на (C- C_V) и обозначим n=(C- C_p)/ (C- C_V)после чего потенцированием уравнения получим уравнение политропы

Где n-показатель политропы

При C= C_V легко видеть, что выполняется условие

Что означает постоянство объема при совершении процесса. Так как при этом показатель политропы равен бесконечности, политропический процесс с n= является изохорическим. При n=0 уравнение политропы вырождается в Р=const и процесс является изобарическим. При n=1 уравнение политропы превращается в уравнение для изобарического процесса РV=const, а при n=γ становится уравнением адиабаты РV^γ=const. Из выражения для определения показателя политропы можно получить формулу для теплоемкости идеального газа

Подстановка n=γ делает теплоемкость С =0 ,а подстановка n=1 делает С =.

Таким образом при адиабатическом процессе, когда нет обмена теплом с внешней средой, теплоемкость системы равна 0, а при изотермическом процессе теплоемкость равна бесконечности.

Таким образом политропические процессы в зависимости от показателя политропы подразделяются следующим образом:

Процесс n

Изобарический 0

Изотермический 1

Адиабатический γ

Изохорический 

15.3. Работа совершаемая идеальным газом при различных процессах

Работа совершаемая каким либо телом над внешними телами при переходе из состояния 1 в состояние2 равна

Для нахождения интеграла воспользуемся уравнением политропы , которое можно записать как:

Отсюда P=P₁V₁ⁿ/Vⁿ подставляя это выражение под знак интеграла и получим

Если n1, то

Воспользуемся уравнением состояния (уравнением Клайперона-Менделеева

И получим

Из этих выражений для работы при политропическом процессе легко получмть работу при адиабатическом процессе. Для этого в полученном выражении достаточно заменить n на γ

Найдем выражение для работы совершаемой идеальным газом при изотермическом и изобарическом процессах

Так как Т=const

Для изобарического процесса работа находится проще так как Р=const

Таким образом, для 1)политропического процесса

2) адиабатического процесса

3) изотермического процесса

4) изобарического процесса

15.4. Газ Ван-дер-ваальса

Поведение реальных газов описывается уравнением Клайперона –Менделеева

Однако, при высоких давлениях(порядка сотен и более атмосфер), низких температурах (около нуля градусов по шкале Цельсия), большом молекулярном весе газа наблюдается отклонение от этого закона. Связано это с тем, что свойства газа при этих условиях уже отклоняются от свойства идеального газа. При этих условиях становятся существенным силы взаимодействие между отдельными молекулами и их эффективный размер

Для описания поведения газов в широком интервале плотностей и температур Ван-дер-ваальсом было предложена удачная формула полученная на основе закона для идеальных газов но содержащая некоторые добавки учитывающие размер молекул и силы взаимодействия между ними. Для одного моля газа это уравнение записывается так:

В этом выражении скобка

Аналогична давлению в законе для идеальных газов

В скобках Р имеет смысл давления которое оказывает газ на стенки сосуда. Газ в объеме в результате притяжения между молекулами испытывает как бы большее чем Р давление. Это дополнительное давление определяется членом a/V²_M , где а –константа Ван-дер-ваальса измеряемая в Па м²/моль².

Выражение в скобках

Аналогично объему в уравнении для идеального газа. В скобке V_M – это объем занимаемый газом член b вторая константа Ван-дер-ваальса измеряемая в м³/моль. Эта константа учитывает тот факт, что реальные газы имеют как бы меньший объем, где могут двигаться молекулы, в следствие того, что молекулы реального газа имеют собственный объем уменьшающий свободный объем занимаемый газом. Для каждого сорта газа существуют свои константы Ван-дер-ваальса.

Для того чтобы перейти от уравнения описывающего поведения одного моля Ван-дер-вальсовского газа к уравнению для произвольной массы газа необходимо данный объем газа V входящий в уравнение разделить на количество молей( ν = .m/μ) Таким образом получим уравнение для произвольного количества Ван-дер-вальсовского газа

15.5. Внутренняя энергия газа Ван-дер-ваальса

Молекулы идеального газа не взаимодействуют между собой. Молекулы газа Ван-дер-ваальса притягиваются друг к другу, поэтому при изменении расстояния между молекулами (при этом изменяется объем газа) совершается работа. Таким образом при сжатии или расширении газа меняется его внутренняя энергия. Работа совершаемая газом определяется как

Работа производимая силами взаимодействия молекул определяется дополнительным давлением в уравнении Ван-дер-ваальса а/V²_{М ,}таким образом для одного моля газа

При неограниченном увеличении объема газа (его расширении) Ван-дер-ваальсовский газ становится идеальным газом. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от объем, а зависит только от температуры газа и для одного моля равняется U=C_VT . Таким образом

Поэтому внутренняя энергия Ванн-дер-ваальсовского газа будет:

Для произвольного количества молей газа внутренняя энергия выразится как