16.2. Распределение Больцмана

     При статистическом описании распределения микрочастиц в пространстве координат ,иобычно используется не функция распределения, а концентрация, которая определяется формулой:

     

,

(16.11)

     где - полное число микрочастиц в объеме системы.

     Формула для нахождения среднего значения какой либо функции при использовании концентрацииотличается от выражения(16.6) и имеет вид:

     

,

(16.12)

     где - объем термодинамической системы.

Если на систему не действуют внешние силы и она находится в состоянии термодинамического равновесия, то концентрация микрочастиц будет одинакова во всех точках системы: . В случае, когда на микрочастицы системы воздействует внешнее силовое поле, например, гравитационное, то их концентрация становится различной в разных точках пространства. При этом состояние термодинамического равновесия должно сохраняться.

Рассмотрим случай нахождения идеального газа во внешнем гравитационном поле.

     Пусть гравитационное поле однородно, а ось направлена вертикально вверх. Тогда концентрация молекул газа будет зависеть только от координаты:. На рис. 16.1 схематически изображен бесконечно малый выделенный объем газа, находящийся в равновесии. Снизу на этот выделенный объем газа воздействует давление, а сверху - соответственно давление. Условие механического равновесия для объема газазапишется в виде:

     

(16.13)

     или

     

,

(16.14)

     где: - плотность газа,- ускорение свободного падения,- масса одной молекулы газа.

Рис. 16.1. Схема к расчету равновесия газа в однородном гравитационном поле

     Подстановка в формулу (16.14)выражения для плотности газа

     

,

(16.15)

     которое является следствием основного уравнения молекулярно-кинетической теории (лекция №12):

     

,

(16.16)

     дает следующее уравнение для давления газа:

     

.

(16.17)

     Здесь - постоянная Больцмана.

     Интегрирование уравнения (16.17) при условии: позволяет определить зависимость давления от высоты:

,

(16.18)

     где - давление газа на высоте, принятой за начало отсчета.

Учитывая, что для постоянной Больцмана:

     

,

(16.19)

     где - молярная масса газа, выражение(16.18) можно представить в виде:

     

.

(16.20)

     Эта зависимость носит название барометрической формулы. Она, в частности, позволяет рассчитывать зависимость давления атмосферы от высоты в случае, если температура атмосферы постоянна, а гравитационное поле - однородно.

     Подстановка уравнения состояния (16.16)в выражение(16.18) позволяет получить следующую зависимость концентрации молекул идеального газа от координаты :

     

,

(16.21)

     где - концентрация газа при.

     Формула (16.21) была получена в предположении, что газ находится в однородном гравитационном поле и, следовательно, потенциальную энергию его молекулы в зависимости от координаты можно выразить простой формулой:

     

.

(16.22)

     Сопоставление формул (16.21)и(16.22) позволяет сделать вывод, что для однородного гравитационного поля распределение концентрации газа зависит от потенциальной энергии его молекул в этом поле. Считая, что данное утверждение справедливо для любого потенциального силового поля, потенциальная энергия молекул газа в котором описывается зависимостью , запишем выражение для определения концентрации молекул газа в виде:

,

(16.23)

     где - концентрация газа в точке, соответствующей началу координат при условии, что.

     Формула (16.23) была впервые получена в 1866 году Л. Больцманом и описывает распределение, получившее название распределения Больцмана. Это распределение позволяет рассчитывать концентрацию газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле. Причем это поле не должно быть обязательно гравитационным, а может иметь любое происхождение, в частности, быть электростатическим или полем сил инерции.

     Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так как кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотой.