Лекция №16 Молекулярная физика и термодинамика

Статистический подход. Функция распределения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Распределение Максвела (по скоростям молекул). Распределение Максвела-Больцмана.

Статистический метод описания состояний макроскопических тел (термодинамических систем) основывается на определении статистических закономерностей случайного (теплового) движения отдельных микрочастиц тела. Несмотря на то, что переменные (координаты и скорости), описывающие движение отдельных, взаимодействующих между собой микрочастиц тела (атомов и молекул), изменяются случайным образом, и предсказать их значения в следующий момент времени не представляется возможным, изменение их средних значений происходит закономерно. Аналогичным закономерным образом изменяются и средние значения любых функций от переменных, использующихся для описания движения, таких, например, как квадрат или модуль скорости поступательного движения молекулы.

     Наблюдаемые параметры термодинамической системы (температура, давление и т.д.) определяются как средние значения соответствующих функций от переменных, описывающих движение микрочастиц. Разработкой методов определения свойств макроскопических тел через параметры, описывающие движение и взаимодействие микрочастиц, из которых эти тела состоят, занимается статистическая физика.

16.1. Функция распределения

     В качестве основной функции, применяемой при статистическом методе описания, выступает функция распределения, которая определяет статистические характеристики рассматриваемой системы. Знание её изменения с течением времени позволяет описывать поведение системы со временем. Функция распределения дает возможность рассчитывать все наблюдаемые термодинамические параметры системы.

     Для введения понятия функции распределения сначала рассмотрим какую-либо макроскопическую систему, состояние которой описывается некоторым параметром , принимающимдискретных значений:,,,...,. Пусть при проведении над системойизмерений были получены следующие результаты: значениенаблюдалось приизмерениях, значениенаблюдалось соответственно приизмерениях и т.д. При этом, очевидно, что общее число измеренийравняется сумме всех измерений, в которых были получены значения: .

     

Увеличение числа проведенных экспериментов до бесконечности приводит к стремлению отношения к пределу

.

(16.1)

     Величина называетсявероятностью измерения значения .

     Вероятность представляет собой величину, которая может принимать значения в интервале. Значениесоответствует случаю, когда ни при одном измерении не наблюдается значениеи, следовательно, система не может иметь состояние, характеризующееся параметром. Соответственно вероятностьвозможна только, если при всех измерениях наблюдалось только значение. В этом случае, система находится в детерминированном состоянии с параметром.

     Сумма вероятностей нахождения системы во всех состояниях с параметрамиравна единице:

.

(16.2)

     Условие (5.2) указывает на достаточно очевидный факт, что если набор возможных дискретных значений ,, является полным (то есть включает все возможные значения параметрав соответствии с условиями физической задачи), то при любых измерениях параметрадолжны наблюдаться значения этого параметра только из указанного набора.

Пусть в результате измерений было установлено, что величина с вероятностьюпопадает в интервал значений отдо. Тогда можно ввести функцию, характеризующую плотность распределения вероятностей:

.

(16.3)

     Эта функция в физике обычно называется функцией распределения.

     Функция распределения должна удовлетворять условию:, так как вероятность попадания измеренного значения в интервал отдоне может быть отрицательной величиной. Вероятность того, что измеренное значение попадет в интервалравна

.

(16.4)

     Соответственно, вероятность попадания измеренного значения в весь интервал возможных значений равна единице:

.

(16.5)

     Выражение (16.5) называется условием нормировки функции распределения.

     Функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции:

     

.

(16.6)

     В частности по формуле (16.6) может быть найдено среднее значение параметра :

.

(16.7)

     Если состояние системы характеризуется двумя параметрами и, то вероятность её нахождения в состоянии со значениями этих параметров в интервалахисоответственно равна

,

(16.8)

     где - двумерная функция распределения. Примером такой функции может служить совместное распределение для координат и скоростей молекул газа.

     Соответственно для бесконечно малых интервалов ивероятностьможно представить в виде

.

(16.9)

     В случае статистической независимости значений параметров идруг от друга двумерная функция распределенийравна произведению функций распределенияи:

.

(16.10)

Это свойство функций распределения будет нами использовано при рассмотрении распределения Максвелла-Больцмана.