Существует два способа определения постоянной времени нагрева .
Первый способ – метод двух третей.
|
|
|
t |
В уравнение |
|
β |
|
θ θmax 1 e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
θ θmax 1 e 1 0,623θmax 3 |
θmax |
|
|
подставим t =
За время, равное , температура кабеля повышается на 2/3 от максимальной температуры
Второй способ – метод касательной. Продифференцируем уравнение
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dθ |
|
|
|
|
|
t |
1 |
||
θ θ |
1 exp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
max |
|
SC |
|
|
θ |
|
exp |
|
|
. |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
|||||||
|
|
dβt |
|
|
|
β |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для
множителя
dθdβt θmax
исключения |
e |
t |
|
подставим t = 0, тогда |
|
|
|||
Производная – это есть не что иное, как |
||||
касательная, |
проведенная к кривой нагрева в |
|||
момент времени t = 0. |
|
|||
Определение тока перегрузки
В том случае если кабель не был подключен к нагрузке и по нему не протекал ток, то его температура равна температуре окружающей среды T0. При включении кабеля на номинальный ток он начинает
разогреваться согласно уравнению
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
θ θ |
1 exp |
|
|
||
|
|||||
|
max |
|
β |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T T 1 exp t
max 0 β
max = Tmax – T0 – максимально допустимый перепад температуры между
токопроводящей жилой и .окружающей средой, который возникает при протекании номинального тока Iн;
Tmax – максимально допустимая температура для кабеля (другое название
– рабочая температура Tраб).
Максимальной температуры Tmax жила достигнет после нескольких часов
нагрева, поэтому в начальный период через кабель можно пропускать ток больше допустимого – ток перегрузки Iпер. При протекании тока
перегрузки температура кабеля будет изменяться:
|
|
|
|
|
|
t |
θ |
пер |
θ |
1 |
exp |
|
|
|
||||||
|
|
max пер |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
В момент времени tпер кривая пер пересечет уровень max ( точка a)
|
|
|
|
|
|
t |
пер |
θ |
max |
θ |
1 |
exp |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
maxпер |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дальше нагревать кабель нельзя.
В соответствии с тепловым законом Ома
θ I 2R |
|
S |
θ |
maxпер |
I 2 |
R |
S |
maxн ж |
|
|
пер |
ж |
|
S |
– сумма тепловых сопротивлений всех элементов |
|
|
|
конструкции |
Зададим условия равенства температур θmax и θmax пер в точке a
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пер |
|
|
Iн2Rж S Iпер2 |
Rж S 1 exp |
|
|
||||||||
|
β |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Iпер |
|
I |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
пер |
|
|
|
|
||
|
1 exp |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗАЩИТА КАБЕЛЯ ОТ ТОКА ПЕРЕГРУЗКИ
Расчет тока короткого замыкания токопроводящей жилы
Во время нормальной работы кабеля по его токопроводящим жилам протекает ток Iн ограниченный сопротивлением нагрузки Rн. В случае
возникновения на нагрузке короткого замыкания, сопротивление нагрузки становится равным нулю (Rн = 0), через кабель протекает
значительный ток Iк.з, ограниченный только сопротивлением токопроводящей жилы Rж, которое много меньше Rн. Если кабель не
отключить за доли секунды, то произойдет быстрый разогрев жилы до значительной температуры. Это приводит к деструкции изоляции и ее сгоранию.
Найдем зависимость тока короткого замыкания Iк.з от времени короткого замыкания τк.з, для этого составим уравнение теплового баланса:
Q Q1 Q2
где Q – тепло, которое выделилось в токопроводящей жиле;
Q1 – тепло, которое было поглощено теплоемкостью токопроводящей
жилы;
Q2 – тепло, которое рассеялось в окружающую среду.
Из-за того, что время короткого замыкания очень мало, тепло не успевает рассеяться в окружающую среду, Q2 = 0, поэтому Q = Q1 , т.е. все тепло идет
на нагрев жилы.
За бесконечно малый промежуток времени |
dQ dQ1 |
dQ Pжdt |
dQ1 Cdθ |
P dt Cdθ |
I 2Rжdt Cdθ |
ж |
|
Учтем зависимость сопротивления токопроводящей жилы от температуры, так как температура при коротком замыкании существенно изменяется:
R2 R1(1αθ)
где θ = T2 – T1 – перепад температуры (T1 – температура жилы перед
коротким |
замыканием; T2 – |
температура жилы |
после |
короткого |
замыкания); |
|
|
|
|
R1 |
– сопротивление |
токопроводящей |
жилы |
перед |
коротким замыканием; |
|
|
||
R2 – сопротивление токопроводящей жилы после короткого замыкания; – температурный коэффициент сопротивления.
I 2R (1αθ)d |
t dθ,C |
I 2R1dt |
Cdθ |
. |
|
||||
1 |
|
|
(1αθ) |
|
Проинтегрируем последнее выражение по времени от 0 до θ:
t |
|
θ |
|
|
I 2R1t C ln(1αθ) |
I 2R1dt |
1 |
Cd(θα 1) |
, |
||
0 |
α |
0 |
(1 αθ) |
|
α |
I |
C |
ln[1α( T |
)]T |
|
|||
|
αR1t |
2 |
1 |
|
|
|
За время короткого замыкания нагреется только жила, поэтому C = Сж. Защита отключит кабель через время t = τк.з при токе Iк.з поэтому температура не превысит T2 = Tк.з.
I |
к.з |
|
Cж |
ln[1α( |
T |
T)], |
|
αR τ |
|||||||
|
|
|
к.з |
1 |
|||
|
|
|
1к.з |
|
|
|
R1 |
– сопротивление токопроводящей жилы перед коротким |
|
замыканием. |
||
|