НАГРЕВ И ОХЛАЖДЕНИЕ КАБЕЛЯ
При изменении тока нагрузки кабеля его температура будет изменяться во времени. Зависимость температуры от времени получится в результате решения дифференциального уравнения
λ 2T qv C ddTt
λ – теплопроводность, Вт/(м·ºС);
qv – плотность теплового потока от внутренних источников
тепла, Вт/м3; С – теплоемкость, Дж/(м3·ºС);
T – температура, ºС; t – время, с.
Рассмотрим упрощенный расчет.
Предположим, что кабель является однородным цилиндром. Обозначим количество тепла, которое:
–выделилось в жиле от протекания тока, Q;
–пошло на нагрев кабеля, Q1;
–рассеялось в окружающую среду, Q2. Составим уравнение теплового баланса:
Q Q1 Q2
За бесконечно малый промежуток времени dt уравнение теплового баланса примет вид
dQ dQ1 dQ2 |
dQ Pжdt |
|
|
|
|
dQ1 Cdθ |
|
|
|
|
dQ |
P dt |
θ |
dt |
|
|
|||
|
2 |
2 |
S |
|
|
|
|
||
Pж – мощность теплового потока, идущего от жилы;
C – теплоемкость кабеля;
P2 – мощность теплового потока, идущего от кабеля в
окружающую среду;
S – тепловое сопротивление; θ – перепад температур.
P dt Cdθ |
θ |
dt |
P dt |
θ |
dt Cdθ |
|
|
||||
ж |
S |
ж |
S |
||
|
|
||||
1 |
PжS θ dt Cdθ |
1 |
dt |
dθ |
|
|
|
||||
SC |
(θ)P S |
||||
S |
|||||
|
|
|
ж |
1 |
t |
θ d( θ Pж S) |
t |
|
|
|
|
|
dt |
(P S θ) |
|
ln(θ)P S ln( |
) P S |
||
|
|
||||||
|
|
||||||
SC |
SC |
|
ж |
ж |
|||
|
0 |
0 ж |
|
|
|
|
|
t |
|
PжS θ |
|
|
θ |
|
|
t |
|
|
θ |
|
|
|
|
ln 1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
ln |
|
ln 1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
SC |
|
PжS |
|
|
PжS |
|
|
SC |
|
|
PжS |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потенцируем последнее
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
θ |
|
|
|
|
θ |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
SC , |
|
|
|
|
||||||||
e |
SC 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
PжS |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
PжS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
PжS θmax |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
θ PжS(1 e |
SC |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ θ |
|
(1 |
|
|||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
max |
e ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
имеем
где β – постоянная времени нагрева, β = CS.
При выводе этого уравнения мы принимали кабель за однородный цилиндр. Реальный кабель многослойный, и чтобы учесть это, вводится понятие эффективной теплоемкости
C = Сэф = Сж+0,5(Сиз + Соб + ...),
Сж – теплоемкость токопроводящей жилы; Сиз – теплоемкость изоляции; Соб – теплоемкость оболочки.
Теплоемкость земли (Сз = 0) не учитывается, земля вокруг
кабеля прогревается в течение нескольких недель.
Тепловое сопротивление берется с учетом теплового сопротивления земли:
S = Sиз + Sоб +…+ Sз .
Тепловое сопротивление любого i-го цилиндрического элемента конструкции кабеля (Sиз , Sоб и т. д.) вычисляется по формуле
Si σi ln ri 1 , 2πL ri
σi – удельное тепловое сопротивление, м·ºС/Вт; ri, ri+1 – меньший и больший радиусы цилиндра;
L – длина цилиндра (L = 1 м).
Теплоемкость любого i-го цилиндрического элемента конструкции кабеля вычисляется по формуле
Ci ciρiV ciρi π(ri21 ri2 )L,
V – объем, м3;
ci – удельная теплоемкость, Дж/
(кг·ºС);
ρi – плотность, кг/м3.
Для токопроводящей жилы |
Sж– сечение жилы (по металлу). |
Cж cжρж Sж L |
Постоянная времени нагрева показывает время, за которое температура кабеля изменится в е раз от первоначального значения. Температура кабеля стабилизируется через (3–5) , что составляет несколько часов.
t
T T0 (Tmax T0)(1 e β )
T0 – температура окружающей среды;
(Tmax – T0) = θ – максимальный перепад температур; T – текущая температура.
Уравнение (представляет собой экспоненту , которая изменяется от температуры окружающей среды (T0) до максимальный температуры (Tmax) с
постоянной времени .
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нагрев |
T T0 (Tmax T0 )(1 |
e |
|
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
T T (T |
|
|
|
|
|
|||
Охлаждение |
T )e |
|
|||||||
|
0 |
max |
|
0 |
|
|
|
|
|
