Иваненко Гидравлика

Истечение жидкости через малое незатопленное отверстие в тонкой стенке при постоянном уровне

Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 45).

Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором.

В общем случае давление Р1 в резервуаре отличается от давления Р2 в пространстве, куда истекает жидкость.

Проведем плоскость сравнения 2–2 через центр сжатого сечения струи.

Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем изменяется не плавно.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1–1 и 2–2:

где v1– скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; v2– средняя скорость течения в сжатом сечении; ζотв– коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.

Перенесем наружное давление Р2 в левую часть и обозначим величину через Н0 –напор истечения:

откуда

Обозначим величину φ (коэффициент скорости):

Коэффициентом скорости называется безразмерный коэффициент, равный отношению действительной средней скорости истечения через отверстие к средней скорости истечения невязкой жидкости из этого же отверстия (для идеальной жидкости φ = 1).

С учетом введенного обозначения скорость в сжатом сечении равна

Так как коэффициент Кориолиса α2 ≥ 1, а коэффициент местных потерь напора в отверстии ζотв > 0, то φ < 1. По опытным данным

φ = 0,97–0,98, а α2 ≈ 1. Отсюда

Для идеальной жидкости ζотв = 0 и φ =1. Тогда v2 = 2gH0 .

Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты Н0.

Когда поперечное сечение резервуара намного больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незна-

α v2

чительна (к примеру, меньше 0,1 м/с), то скоростным напором 1 1

2g

можно пренебречь.

В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы Р1 =Р2, то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. Н0 = Н. Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.

Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи:

Произведение (φ · ε) обозначают через µ и называют коэффициентом расхода.

Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи ε = 0,62–0,64. В этом случае µ = 0,6–0,62.

Коэффициентыистеченияε,φиµзависятотчислаРейнольдсаRe, причем коэффициенты сжатия и скорости – в разных направлениях: с возрастанием числа Рейнольдса коэффициент скорости увеличивается, а коэффициент сжатия струи убывает. В результате коэффициент расхода остается практически неизменным (исключением являются потоки жидкости с весьма малыми числами Рейнольдса). При большом числе Рейнольдса (Re > 104) они практически постоянны и их средние значения равны: ε = 0,64; ω = 0,97; µ = 0,62.

Величины коэффициента расхода измеряются простым замером фактического расхода жидкости через отверстие и сопоставлением его с теоретически вычисленным значением.

Коэффициент сжатия струи измеряется путем непосредственного определения сжатого сечения струи, коэффициент скорости – по траектории струи.

При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень» (см. рис. 42)), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве

µμ,φ,ϕ,εε

φ

ε

μ

геометрического напора Н0 принимают разность уровней жидкости в резервуарах: z = Н1 – Н2, т. е.

Числовые значения коэффициентов ε, φ, µ остаются при этом практически теми же.

При вытекании воды из больших прямоугольных отверстий шириной b (рис. 47) поток разделяют на элементарные горизонтальные полосы, определяют расход через каждую полосу и суммируют расходы всех элементарных полосок. Общий расход

где Н1 и Н2 – соответственно глубина воды до верхней и нижней кромок отверстия.

Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения. Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны, и вследствие сил поверхностного натяжения.

На рис. 48 показано изменение формы струи при истечении через различные отверстия по мере удаления от резервуара.

b

Рис. 47. Схема «большого» прямоугольного отверстия; b – размер отверстия по нормали к плоскости чертежа

Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке при переменном уровне

Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 49). Пусть резервуар призматического сечения имеет площадь Ω. Движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень с течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода. Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За это время вытечет объем жидкости, равный

dW = Q · dt, или dW = µω 2g ydt .

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, dW = –dy.

Знак «–» поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.

Приравнивая правые части обоих составленных уравнений, получим

−Ωdy = µω2g ydt ,

откуда:

dt = −µωΩdy2g y .

Ω

dy

2

H

y

Рис. 49. Схема к определению основных параметров истечения при переменном уровне

82

Интегрируя полученное выражение, найдем полное время истечения

,

или, вынося постоянные величины за знак интеграла,

,

.

Итак, время понижения уровня от Н1 до Н2:

t= 2Ω((H1 H−1−H 2H).

μωμω2g2g

Время полного опорожнения, т. е. если Н2 = 0,

t = 2µωΩ2Hg1 .

Рассмотрим характер движения струи при истечении жидкости через отверстие при неболь­ ­ших скоростях и небольших высотах падения, когда можно пренеб­ ­речь сопротивлением окружающего струю воздуха. Поместим, как показано на рис. 50, систему координат в центр тяжести отверстия в тонкой стенке.

1.Движение в направлении оси 0х равномерное со скоростью

v= х/t, откуда х = vt, где х – путь жидкости за время t;

2.В направлении оси 0y движение без начальной скорости,

равноускоренное, вертикально вниз под действием силы тяжести: y = g · t2/2.

Рис. 50. Схема к определению координат вылета струи

83

Решив систему из двух уравнений, с учетом (48) получим y = х2 / 4Н · φ2.

Следовательно, уравнение движения струи есть уравнение параболы.

Лекция 14

Истечение жидкости через насадки. Виды, условия применения, особенности истечения, вакуум

Гидравлическим насадком называют короткий напорный патрубок, плотно присоединенный к отверстию в резервуаре. При гидравлических расчетах насадков потерями давления по длине пренебрегают. Длина насадка обычно равна l = (3...5) d, где d – внутренний диаметр насадка.

Насадки разделяют (рис. 51):

•по расположению относительно стенки резервуара – на внешние и внутренние;

•по форме конструкции – на цилиндрические, конические сходящиеся, конические расходящиеся и коноидальные.

Все насадки, как и отверстия, могут быть затопленными и незатопленными, а истечение через них может быть при постоянном

ипеременном напоре.

На рис. 52 показаны три режима работы насадка:

1.Безотрывный режим. В начале насадка (так же, как и при истечении из отверстия в тонкой стенке) из-за радиальной составляющей скорости струя испытывает сжатие (зона 1). При этом у стенок насадка образуется область пониженного давления. По мере продвижения, под действием этого пониженного давления, струя расширяется (зона 2), заполняя все внутреннее сечение насадка, и давление выравнивается.

2.Режим истечения с отрывом струи. При повышении давления

врезервуаре пониженное давление довольно быстро может стать отрицательным, т. е. ниже давления вакуума.

Поскольку такое состояние физически невозможно, то в этот момент происходит изменение режима истечения жидкости – он прекращает быть безотрывным и отрывается от внутренних стенок на-

Рис. 51. Схемы внешних гидравлических насадков: а – цилиндрический внешний; б – цилиндрический внутренний; в – конический расходящийся; г – конический сходящийся; д – коноидально-расходящийся; е – коноидальный

1

2

1 2

Рис. 52. Истечение через цилиндрический насадок: a – в атмосферу (и в жидкость) с малой скоростью; б – в атмосферу с большой скоростью; в – в жидкость (под уровень) с большой скоростью

садка на всем протяжении его длины. При этом в образовавшуюся щель поступает наружный воздух, заполняющий область между струей и внутренними стенками насадка. Вследствие эжекции воздуха струей давление в насадке все равно будет ниже, чем в свободном пространстве у выхода насадка. Поскольку стенки насадка

врежиме истечения с отрывом уже не оказывают заметного влияния на характер струи, считается, что в этом случае действуют те же закономерности, что и при свободном истечении через отверстие

втонкой стенке.

3. Режим кавитации. Если условия для возникновения режима отрыва от стенок появляются при истечении струи через затопленныйнасадок,областьразрежения,конечно,незаполняетсявоздухом. Вместо этого там возникают кавитационные явления.

Как и при изучении истечения через отверстие, основной задачей по расчету насадков является определение скорости истечения и расхода вытекающей жидкости.

Рассмотрим истечение через внешний цилиндрический насадок (рис. 53). Струя жидкости при входе в насадок сжимается, а потом расширяется и заполняет все сечение. Из насадка струя вытекает полным сечением, поэтому коэффициент сжатия, отнесенный к выходному сечению, ε = 1, а коэффициент расхода: μ = εφ = φ.

Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2:

Для истечения из открытого резервуара в атмосферу аналогично

истечению через отверстие уравнение Бернулли приводим к виду

v2

H = 22g + h1−2 .

Потери напора в насадке складываются из потерь на сжатие (зона 1) и на расширение сжатой струи внутри насадка (зона 2). Незначительными потерями в резервуаре и потерями по длине насадка ввиду их малости можно пренебречь. Итак,

По уравнению неразрывности можем записать vсωс = v2ω2,

Рис. 53. Схема истечения через цилиндрический насадок

откуда

vC = (ω2/ωC) v2 /ε.

Подставляя значение υс, имеем:

где введено обозначение

ζC = εζ2 + ε12 − 2ε +1.

Полученное значение потерь напора подставим в уравнение Бернулли, тогда

v2 = ϕн 2gH .

Расход жидкости

Q = v2ω2 = ϕнω2 2gH , или Q = µнωн 2gH ,

где μн – коэффициент расхода насадка; ωн – площадь живого сечения насадка.

Уравнения для определения скорости и расхода жидкости через насадок имеют тот же вид, что и для отверстия, но другие значения коэффициентов (!).

Для коэффициента сжатия струи (при больших значениях Re и ζ ≈ 0) можно приближенно принять ε = 0,64, и тогда µ = φн = 0,84.

Фактически происходят и потери по длине, поэтому для истечения воды в обычных условиях можно принимать µ = φн = 0,82.

Рассмотрим некоторые особенности насадков. Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для насадка и отверстия в тонкой стенке, устанавливаем, что насадок увеличивает расход и уменьшает

Рис. 54. Значения ε, µ и φдля некоторых типов насадок

скорость истечения. Характерной особенностью насадка является то, что давление в сжатом сечении меньше атмосферного (рис. 54).

Во внутренних цилиндрических насадках сжатие струи на входе больше, чем у внешних, и поэтому значения коэффициентов расхода

искорости меньше: µ = φ= 0,71.

Внаружных конических сходящихся насадках сжатие и расширение струи на входе меньше, чем в наружных цилиндрических, но появляется внешнее сжатие на выходе из насадки.

Поэтому коэффициенты ε, µ и φн зависят от угла конусности. С увеличением угла конусности до 13° коэффициент расхода µ растет, а с дальнейшим увеличением угла уменьшается.

Вконических расходящихся насадках внутреннее расширение струи после сжатия больше, чем в конических сходящихся и цилиндрических, поэтому потери напора здесь возрастают и коэффициент скорости φн уменьшается. Внешнего сжатия при выходе нет. Коэффициенты φн и μ зависят от угла конусности. Так, при угле конусности β < 8° значения коэффициентов можно принимать равными

μвых = φвых = 0,45; при β < 12° (предельный угол) µвых = φвых = 0,26.

При β < 12° струя вытекает, не касаясь стенок насадка, т. е. как из отверстия без насадка.

Конические расходящиеся насадки применяют в тех случаях, когда необходимо уменьшить скорость истечения, например, насадки для подачи смазочных масел и т. п. В конических расходящихся насадках в месте сжатия струи создается большой вакуум, поэтому их еще применяют там, где требуется создать бóльший эффект всасывания (эжекторы, инжекторы и т. п.).

Коноидальные насадки имеют очертания формы струи, вытекающей через отверстие в тонкой стенке. Для этих насадок значение коэффициентов составляет: µ = φН = 0,97.

Для коноидально-расходящейся насадки можно получить коэффициент расхода больше единицы за счет увеличения выходного сечения.

Лекция 15

Классификация трубопроводов. Расчетные зависимости. Основные задачи по расчету простых и сложных трубопроводов

С конструктивной точки зрения трубопроводы подразделяют на:

•простые трубопроводы, не имеющие ответвлений и обслуживающие только одну точку x, причем диаметр трубы, а также расход жидкости на всей длине трубы остаются неизменными;

•сложные трубопроводы, обслуживающие бесконечное число потребителей. Сложные трубопроводные системы делятся на тупиковые (рис. 55, а), параллельные, последовательные, кольцевые (рис. 55, б) и смешанные (рис. 55, в), комбинированные.

в)

Рис. 55. Сложные трубопроводные системы: а – тупиковые, состоят из магистрального (главного) трубопровода, от которого в разные стороны отходят ответвления к потребителям; б – кольцевые, представляют собой замкнутую сеть труб, что обеспечивает подачу воды в любом направлении. При аварии на каком-либо участке подача воды потребителю не прекращается; в – параллельные, состоят из нескольких параллельно проложенных трубопроводов, связанных между собой перемычками

с регулирующими задвижками

90

Гидравлический расчет трубопроводов основан на следующих уравнениях, формулах и зависимостях:

• уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

• уравнение неразрывности для установившегося потока жидкости

• формула Дарси–Вейсбаха для учета потерь на трение (по длине трубопровода)

где K – расходная характеристика (модуль расхода), представляющая собой расход при гидравлическом уклоне, равном единице;

• формула для определения гидравлического уклона (удельных потерь напора по длине)

или по формуле Дарси-Вейсбаха (55)

Заменяя скорость v на расход Q, из уравнения расхода Q = vω получим

Обозначим A = gπ82λd 5 – удельное сопротивление трубопровода, тогда

Тогда потери по длине определяются по формуле

где Р – проводимость, выражающая собой расход жидкости при hтр = 1.

Сравнивая выражения (61) и (66), найдем связь между P и S:

P2 = S1 ; K = Pl .

Для гидравлического расчета трубопроводов используются приведенные формулы и в зависимости от задания определяются по таблицам значения A, S, K или P.

Общая задача гидравлического расчета трубопроводов заключа­ ­ ется в определении диаметров труб для пропуска заданного расхода воды и напора, необходимого для подачи воды ко всем точкам водоразбора при оптимальных затратах.

При решении инженерных задач четыре величины – расход Q, скорость v, диаметр трубопровода d и потери напора h – являются переменными и взаимозависимыми. Рассмотрим основные типы встречающихся на практике задач.

При расчете простого трубопровода решаются три основные за-

дачи:

Задача 1. Для пропуска расхода Q по трубопроводу известного материала длиной l м, диаметром d, требуется определить необходимый действующий напор H .

Решение сводится к прямому вычислению напора по формуле (53), приведенной к виду

Коэффициенты λ и ξ могут быть связаны с числом Рейнольдса: Re = vdv = Qdωυ , для чего в начале решения необходимо установить

режим течения.

Задача 2. Требуется определить расход Q при заданных H, l, качестве материала и d трубопровода.

Расход определяется из уравнения расхода Q = vω и выражения (68). При совместном решении получаем формулу для вычисления расхода

Для определения λ и ξ необходимо знать скорость v или искомый расход Re = vdv = Qdωυ ,поэтомуQможнонайтипоформуле(68)мето-

дом подбора или графоаналитическим способом, путем использования формулы (68) и построения графика H = f(Q) (рис. 56).

Задаваясь значениями Q1, Q2, ..., Qn, по формуле

Задача 3. Требуется определить диаметр трубопровода d по заданным H, Q и l, качестве материала.

Диаметр трубопровода d определяется графоаналитическим способом. Строится кривая d = F(H ): задаваясь рядом значений d1, d2 ,..., dn , вычисляем H1, H2 , ..., Hn (рис. 57). При этом для каждой точки графика вычисление H1, H2 ,..., Hn проводится без подбора, так как при каждом d1, d2 ,..., dn число Рейнольдса вычисляет-

ся непосредственно по формуле Re = Qdωυ .

Q

Q3 Q2

Q

Q

Рис. 57. График Q = f(d) 94

Замечание 1. Для длинных трубопроводов, когда потерями на местных сопротивлениях можно пренебречь, все три основные задачи решаются на основе использования формулы

Следовательно, методика расчета сохраняется, но расчеты значительно упрощаются.

Замечание 2. При квадратичном законе сопротивления, т. е. когда λ, а также коэффициент Шези С не зависят от Re, расчет можно выполнить по формуле

Первыедвезадачисводятсякпрямомувычислениюихпоформуле (70), причем K определяется по таблицам по заданному диаметру d.

Для решения третьей задачи (определить d по данным H, Q и l) сначала вычисляется по формуле (70) необходимое значение K, по которому затем из таблиц находится ближайшее большее и ближайшее меньшее значения K1 и K2 (K1 > K > K2 ), и по техникоэкономическим условиям принимается d.

При гидравлическом расчете сложных трубопроводов встреча-

ются следующие виды расходов:

•узловой (или сосредоточенный) расход, м3/с. Назван так потому, что он поступает или вытекает в точке перелома сети, называемой узлом;

•транзитный расход, м3/с – это расход, который транспортируется по какому-либо участку без использования, т. е. транзитом

ипредназначен для потребления на вышележащих участках;

•путевой расход, л/(с · м) – это расход, непрерывно потребляемый по длине участка трубопровода (рис. 58);

•расчетный расход, м3/с – это расход, на который рассчитывается данный участок трубопровода.

Рассмотрим трубопровод с непрерывной раздачей жидкости (см. рис. 58). Этот расход называется путевым qпут . На некоторой длине L часть расхода равномерно и непрерывно раздается в большом числе пунктов с интенсивностью q0:

qпут = q0L.

95

Рис. 58. Путевой расход: а – схема отбора; б – график изменения расхода по трубопроводу; в – схема сосредоточенных отборов, заменяющих путевой отбор

Остальная часть расхода qтр транспортируется через участок L в последующие участки трубопровода. Этот расход называется транзитным.

Суммарный расход в начальном сечении участка

Q = q0 · L + qтр.

ПотеринапоранаучасткеL трубопроводаопределяютпоформуле

Рассмотрим последовательное соединение трубопроводов разных диаметров (рис. 59).

Пренебрегая местными потерями, потери по длине можно определить по формулам:

x

Рис. 59. Последовательное соединение трубопроводов

Потери напора в трубопроводе получают путем суммирования потерь напора, определенных на каждом отдельном участке

∑hl = hl1 +hl2 +hl3 +hl4 .

Сучетом приведенных формул получим

или

∑hl = Q2 (A1l1 + A2l2 + A3l3 + A4l4 ).

Для области квадратичного сопротивления можем написать

Таким образом, систему с последовательным соединением трубопроводов можно рассматривать как один простой трубопровод, сопротивление которого равно сумме сопротивлений отдельных последовательно соединенных трубопроводов разного диаметра.

Используя формулу (73) и учитывая, что весь напор H затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, т. е. H = ∑hv , можно решить обратную задачу, а именно, при заданных

H , l1, l2 , l3 , l4 и d1, d2 , d3, d4 определить пропускную способность всей системы по формуле