4 Ряд Тейлора

Определение. Ряд

называется рядом Тейлора по степеням для функции.

Функция может быть разложена в ряд Тейлора, если в рассматриваемой точкеона имеет производные всех порядков и если остаточный член в точкепристремится к нулю. Приряд Тейлора называют иногда рядом Маклорена.

Теорема

Если функция разлагается в степенной ряд, то для неё этот ряд единственный и является рядом Тейлора.

Примечание. Находя последовательно производные функции и их значения в точке, можно записать ряд Тейлора. Но при этом исследование остаточного членапредставляет большие трудности. Поэтому часто идут другим путем: пользуются готовыми разложениями основных элементарных функций в степенные ряды в комбинациях с правилами сложения, вычитания, умножения рядов и теоремами об их интегрировании и дифференцировании, как это, например, было показано в задачах 17.31 и 18.31.

Задача 19.31 [7]

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням.

Решение:

х₀ = 0. Воспользуемся примечанием. Так как

,

то функция упрощается, если применить метод неопределенных коэффициентов:

.

Далее раскладываем в ряд каждое слагаемое, пользуясь геометрической прогрессией:

.

Сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем равна:. В нашем случае.– радиус сходимости этого ряда. Слагаемое,

Складывая ряды, получим: или , где– общая область сходимости.

4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных рядов

Чтобы вычислить интеграл с заданной точностью, подынтегральную функциюраскладывают в ряд, производят интегрирование и в полученном ряде оставляют столько членов, сколько потребуется для заданной точности (см. задачу 9.31).

Задача 20.31 [7]

Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение:

Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, заменяя в немна, имеем:

.

Toгдa

Почленное интегрирование законно, так как отрезок интегрирования целиком лежит в области сходимости ряда.

Чтобы вычислить данный интеграл с точностью до 0,001, надо взять в полученном ряде два его члена (0,0005<0,001) (см. задачу 9.31).

Таким образом,

.

5 Вопросы для самопроверки Числовые ряды

1. Дайте определения сходящихся и расходящихся рядов.

2. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

3. Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение рядов с положительными членами; признак Даламбера; радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

4. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Сформулируйте признак Лейбница.

Функциональные ряды

6. Дайте определение области сходимости функционального ряда.

7. Какой ряд называется равномерно сходящимся?

8. Сформулируйте признак Вейерштрасса.

9. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

10. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.

11. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов.

Список рекомендуемой литературы

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989. – 736 с.

2. Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисления /Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

3. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Наука, 1985. – 576 с.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 808 с.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 460 с.

7. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (ТР). – М.: Высшая школа, 1983. – 174 с.

8. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2 /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

9. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

Учебное издание

Бородин Николай Павлович

Жернова Варвара Викторовна

Шуметова Людмила Викторовна

Шоркин Владимир Сергеевич

РЯДЫ

Учебно-методическое пособие

Редактор Т.Д. Васильева

Технический редактор Т.П. Прокудина

Орловский государственный технический университет

Лицензия ИД № 00670 от 05.01.2000

Подписано к печати 26.08.2004 г. Формат 60 x 84 1/16.

Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,9. Усл. печ. л. 2,4. Тираж 500 экз.

Заказ №____

Отпечатано с готового оригинал-макета

на полиграфической базе ОрелГТУ,