министерство образования рф

орловский государственный технический

университет

факультет электроники и приборостроения

кафедра «высшая математика»

Т.А. Павлова

методические указания

к выполнению типового расчета

по высшей математике

дифференциальные уравнения

Орел 2003

Автор: ассистент кафедры «высшая математика» Т.А. Павлова

Рецензент: профессор, д.т.н. В.А. Гордон

аннотация

Методические указания по выполнению типового расчета, проведению практических занятий и самостоятельной работе студентов по теме: «Дифференциальные уравнения», предназначены для студентов I курса ОрелГТУ всех специальностей, выполняющих во втором семестре типовой расчет «Дифференциальные уравнения» и контрольную работу «Дифференциальные уравнения первого порядка».

Автором рассмотрены уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные уравнения, уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах и уравнения высших порядков; указаны основные методы их решений.

Редактор

Инженер по маркетированию и верстке

Подписано к печати . Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ №

Отпечатано с готового оригинала – макета

На полиграфической базе ОрелГТУ,

г. Орел, ул. Московская, 65.

ОрелГТУ, 2003-02-22

Павлова Т.А.

содержание

уравнения с разделяющимися переменными 4

однородные уравнения 1-го порядка 4

линейные уравнения 1-го порядка 6

уравнение Бернулли 9

уравнения в полных дифференциалах 10

метод изоклин 11

геометрические задачи, приводящие к решению

дифференциальных уравнений 1-го порядка 12

дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13

линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 15

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 18

литература 20

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида:

(1)

называются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая такие уравнения, необходимо преобразовать их так, чтобы одна часть уравнения содержала только переменную у, а другая - только х, а затем проинтегрировать обе части (по у и по х соответственно).

Например, уравнение (1) надо разделить на , тогда получим. Проинтегрировав обе части, найдем общий интеграл:

. (2)

Кроме найденного общего интеграла (2) уравнению (1) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения . Если эти решения не входят в общий интеграл (2), то они будут особыми решениями уравнения (1).

Приведем примеры решения конкретного уравнения этого типа.

Задача №1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде (х, у)=с).

1.31 .

Решение. Уравнение представлено в дифференциальной форме. Для разделения переменных перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и сгруппируем содержащие dx и dy:

Разделим обе части уравнения на , получим

.

Почленно интегрируя, получим искомый общий интеграл:

.

В первообразных модули можно опустить, т.к. 1+х² и 4+у² величины всегда неотрицательные.

Умножая обе части уравнения на 2 и учитывая свойства логарифма, получим

.

В нашем примере уравнение представлено в дифференциальной форме. Возможны случаи, когда уравнение разрешено относительно производной, т.е. оно имеет вид и, когда не разрешено относительно производной -.

Например, для первого случая . В таких задачах нужно учитывать, что. Тогда,.

Пример ко второму случаю: . Уравнение можно разрешить относительно производной и, таким образом, придем к первому случаю.