Н.П. Бородин

В.В. Жернова

Л.В. Шуметова

В.С. Шоркин

РЯДЫ

министерство образования российской федерации

орловский государственный технический университет

Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова,

В.С. Шоркин

РЯДЫ

Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ

в качестве учебно-методического пособия

Орел 2004

УДК 517.52(076)

ББК 22.1613я7

Б83

Рецензенты:

заведующий кафедрой высшей математики ОрелГТУ,

доктор технических наук, профессор

В.А. Гордон,

заведующий кафедрой геометрии и методики преподавания

математики ОГУ, кандидат педагогических наук, профессор

В.В. Ветров

Б83 Бородин Н.П. Ряды: Учебно-методическое пособие / Н.П. Бородин, В.В. Жернова, Л.В. Шуметова, В.С. Шоркин. – Орел: ОрелГТУ, 2004. – 39 с.

В учебно-методическом пособии по выполнению типового расчета «Ряды» даются подробные решения задач с полным анализом. Пособие предназначено студентам технических специальностей. Предлагаемый материал окажет большую помощь студентам в самостоятельном освоении курса высшей математики, особенно при подготовке к практическим занятиям, контрольным работам и при выполнении типовых расчетов.

УДК 517.52(076)

ББК 22.1613я7

© ОрелГТУ, 2004

© Бородин Н.П., Жернова В.В.,

Шуметова Л.В., Шоркин В.С., 2004

Содержание

Введение 4

1 О выполнении типового расчета 5

1.1 О рядах 6

2 Числовые ряды 8

2.1 Сумма ряда 8

2.2 Свойства сходящихся рядов 12

2.3 Необходимый признак сходимости ряда 13

2.4 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

членами 13

2.4.1 Признак сравнения 13

2.4.2 Признак Даламбера 14

2.4.3 Признак Коши 14

2.4.4 Интегральный признак Коши 15

2.5 Знакопеременные ряды 18

3 Функциональные ряды 21

3.1 Равномерная сходимость функционального ряда 25

3.2 Признак Вейерштрасса 27

3.3 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 29

4 Ряд Тейлора 34

4.1 Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных рядов 36

5 Вопросы для самопроверки 37

Список рекомендуемой литературы 38

Введение

Последние несколько лет работы высшей школы нашей страны отмечены значительным уменьшением объёма часов, отводимых действующими учебными планами на чтение лекций и проведение семинарских и практических занятий. В связи с присоединением нашей страны к Болонскому соглашению указанная выше тенденция будет усиливаться. В этих условиях возникает проблема: как организовать изучение вузовских дисциплин студентами, в частности математики, чтобы знания студентов были не хуже, чем это было в советское время. Одним из путей решения этой проблемы, безусловно, является совершенствование форм самостоятельной работы студентов. Авторы настоящего пособия на основе системы типовых заданий (на основе типовых расчетов) разработали учебно-методический комплекс, который позволяет занять студентов разноуровневой самостоятельной работой, начиная от репродуктивной и кончая продуктивной или даже творческой. У преподавателей, таким образом, появляется возможность пойти на дальнейшее сокращение аудиторных часов, а освободившееся время употребить на повышение своей квалификации, на контроль самостоятельной работы студентов, на проведение для них консультаций.

Пособие написано в полном соответствии с программой по изучению высшей математики в технических вузах. Следует отметить, что решения задач № 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 19, 20 связаны в основном с формированием у студентов знаний 3-го уровня – продуктивного. Остальные, более трудные – это задачи творческого характера (4-й уровень).

Студенту, прежде чем решать задачи типового расчета по задачнику Л.А. Кузнецова, необходимо изучить соответствующий раздел теории, а затем внимательно, с выполнением всех действий на бумаге разобрать решенные задачи нашего пособия. Пособие может быть полезно и для преподавателей, ведущих практические занятия.

1 О выполнении типового расчЕта

При выполнении типового расчета следует пользоваться рекомендуемой литературой (см. с. 38).

Чтобы выполнить теоретические упражнения, мы даем некоторые указания, включающие ссылки на отдельные главы и страницы учебников.

Упражнение 1

Ряды исходятся. Доказать, что ряд сходится, если.

Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9].

упражнение 2

Ряд () сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

Литература: [1, гл. 4], [2, гл. 9, с. 366].

Упражнение 3

Ряды исходятся. Доказать, что рядтоже сходится.

Указание. В доказательстве следует применить неравенство .

Литература: [1, гл. 4, с. 418, 423], [2, гл. 9].

упражнение 8

Показать, что функция всюду непрерывна.

Указание. Докажите равномерную сходимость ряда , пользуясь признаком Вейерштрасса, и непрерывность его членов. Если ряд будет сходиться равномерно всюду, то функциябудет всюду непрерывной.

Литература: [5, гл. 12].

Упражнение 9

Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале. Можно ли его почленно дифференцировать в этом интервале?

Указание. Проверив, что данный ряд равномерно сходится в интервале, покажите, что рядрасходится всюду.

Литература: [5, гл. 12].