3.3 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Определение. Функциональный ряд вида

,

где … – действительные числа, называется степенным рядом.

Областью абсолютной сходимости ряда является интервал , где число R – радиус сходимости.

Пусть степенной ряд имеет радиус сходимостиR > 0. Тогда справедливы следующие положения:

1. Сумма ряда является непрерывной функцией от x во всем интервале сходимости .

2. Ряд равномерно сходится на любом отрезке , где .

3. Ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку , лежащему внутри интервала .

4. Ряд можно почленно дифференцировать в любой точке сколь угодно раз.

Примечания:

1. При почленном интегрировании или дифференцировании степенного ряда получаются новые степенные ряды, при этом их радиус сходимости остается тот же.

2. Радиус сходимости степенного ряда можно найти по одной из формул:

, (10)

(11)

при условии, что указанные пределы существуют, – коэффициент ряда.

Задача 17.31 [7]

Найти сумму ряда .

Решение:

I способ. Найдем интервал сходимости ряда:

, , .

Упростим рациональную дробь ,.

Тогда ряд может быть представлен разностью двух рядов:

.

Сходимость каждого из них остается та же (убедитесь в этом самостоятельно). Поэтому равенство имеет место. Обозначим суммы рядов соответственнои, а искомую сумму – через,.

Найдем сумму первого ряда:

.

Дифференцируя почленно ряд внутри интервала сходимости , получим:;представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем .

При прогрессия сходится,, , и сумма равна: ; . Теперь, интегрируяна отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

.

Найдем сумму второго ряда:

.

Выполним преобразование:

.

Обозначим сумму ряда, стоящего в скобках, через и продифференцируемв интервале:

–это тоже геометрическая прогрессия.

, , ;

.

Итак, сумма исходного ряда равна:

или для.

II способ. Не повторяя подробностей I способа, связанных с интервалом сходимости данного ряда, предлагаем II вариант решения задачи. Обозначим сумму ряда через :.

Умножим на данный ряд:. Продифференцируем дважды полученный ряд:

,

.

представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , тогда. Проинтегрируемна отрезке:

.

Интегрируя по частям, получим:

для .

Задача 18.31 [7]

Найти сумму ряда .

Решение:

Данный ряд сходится в интервале (убедитесь в этом самостоятельно). Перепишем его, представив в виде суммы трех рядов:

.

Это возможно, так как каждый из рядов имеет одну и ту же область сходимости – интервал . Обозначим суммы трех рядов соответственно через,,, а искомую сумму – через.

.

,

как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем

.

Выполним преобразование:

.

Обозначим через сумму ряда .

Интегрируя почленно этот ряд на отрезке внутри интервала сходимости , получим:

.

Чтобы найти , надо продифференцировать дробь :

.

Следовательно, .

Теперь найдем :

.

Вынесем за скобки:

.

Обозначим через сумму ряда, стоящего в скобках. Тогда

В этих скобках стоит ряд, сумма которого найдена: . Получаем:.

Отсюда .

Но ,. Тогда сумма исходного ряда

.

Итак, для .