Batranina_kriv_ipoverhn

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ниверситет ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОНИКИ

И ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Кафедра: «Высшая математика»

М.А. Батранина В.В. Жернова

Кривые и поверхности второго порядка

Методические указания и задания по выполнению лабораторной работы по аналитической геометрии

Дисциплина - «Математика» Для технических специальностей ОрелГТУ

Печатается по решению редакционноиздательского совета ОрелГТУ

Орел 2003

3

ВВЕДЕНИЕ

Данные указания представляет собой методические указания к выполнению лабораторной работы, в которую входят задания по темам: "Кривые второго порядка", "Кривые в полярных координатах", "Поверхности второго порядка".

Перед заданиями лабораторной работы приведены основные положения теории, определения, формулы, подробно рассмотрены решения типовых задач.

При выполнении лабораторной работы необходимо привести формулы, с помощью которых решается задача, сделать подробные вычисления и необходимые пояснения к решению.

4

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Линии второго порядка

Линия (кривая) второго порядка - это линия, определяемая урав­ нением второй степени относительно текущих координат х и у, т.е. уравнением вида:

При соответствующем выборе системы координат уравнение ли­ нии второго порядка можно привести к простейшему виду.

К линиям второго порядка относятся: эллипс, гипербола, па­ рабола.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (эта постоянная больше расстояния между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса:

х2 у2

где а=ОА - большая полуось, Ь=ОВ - малая полуось.

Координаты фокусов: F^-cjO), F2(c;0), где с=л/а2 - Ь2 .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большой полуоси 2а: е = - (е < 1, так как с<а).

5

Директрисами эллипса называются прямые, уравнения которых

а

х = + - .

£

Расстояние точки М(х,у) эллипса до фокусов (фокальные радиусы) определяются формулами:

Т\=а + ех ; Т2~а-ЕХ .

В частном случае а=Ь фокусы F! и F2 совпадают с центром, а ка­ ноническое уравнение имеет вид:

т.е. описывает окружность радиуса а с центром в начале координат.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (указанная разность берется по абсолютному значению; требуется также, чтобы она была меньше расстояния меж­ ду фокусами и отлична от нуля).

Каноническое уравнение гиперболы:

где a=OAi=OA2- действительная полуось; b - мнимая полуось.

Фокусы гиперболы: F|(-ft;0), F2(c;0), где с = ыа2 + Ь2 .

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение е = — (е > 1, так как с>а).

Асимптоты гиперболы: у=±—х.

Расстояния точки М(х;у) гиперболы до ее фокусов определяется формулами: ri=|sc + o|; r2= |sc — л|.

Прямые х=±- называются директрисами гиперболы.

Гиперболы ~т-тг= 1 и ~Т + 7Г= ' называются сопряженными. Гипербола с равными полуосями (а=Ь) называется равносторон­

ней, ее уравнение:

х2-у2=а2

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (ди­ ректрисы).

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и про­ ходящей через начало координат, имеет вид:

Уравнение директрисы х = -—. Парабола имеет фокус F(—;0), Фокальный радиус точки М(х;у) параболы выражается формулой

7

Примеры некоторых кривых и их уравнений в полярных коорди­ натах:

180—1 1—Н I l l y о

9

Рисунок 7 - Улитка Паскаля

1.3 Параметрические уравнения

Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида:

x = <p,(t),

(16)

где ip,(t),(p2(t) - функции переменной t

1.4 Преобразования прямоугольных координат

10