Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Batranina_kriv_ipoverhn

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
313.75 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ниверситет ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОНИКИ

И ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Кафедра: «Высшая математика»

М.А. Батранина В.В. Жернова

Кривые и поверхности второго порядка

Методические указания и задания по выполнению лабораторной работы по аналитической геометрии

Дисциплина - «Математика» Для технических специальностей ОрелГТУ

Печатается по решению редакционноиздательского совета ОрелГТУ

Орел 2003

Авторы: ассистент

М.А. Батранина,

старший преподаватель

 

кафедры «Высшая математика»

в.В. Жернова

Рецензент: профессор кафедры «Высшая математика»,

д.ф-м.н.

B.C. Шоркин

Методические указания содержат основные теоретические поло­ жения, задания для лабораторной работы, образцы решения типовых задач.

Предназначены для студентов 1 курса технических специально­ стей, выполняющих лабораторную работу по теме «Кривые и поверх­ ности второго порядка».

Редактор С.Ч. Алиева Технический редактор Ю.Н. Рожнова

Орловский государственный технический университет Лицензия ИД № 00670 от 05.01.2000 г.

Подписано к печати 06.10.2003 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 1,8. Тираж 200 экз.

Заказ №

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ОрелГТУ, 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

ОрелГТУ, 2003 Батранина М.А., Жернова В.В., 2003

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

4

1 Теоретические положения

5

1.1 Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола)

... 5

1.2

Кривые второго порядка в полярных координатах

8

1.3

Параметрические уравнения

10

1.4

Преобразования прямоугольных координат

10

1.5

Поверхности второго порядка

11

2 Задания для лабораторной работы

14

3 Образцы выполнения заданий

17

4 Список рекомендуемых источников

27

3

ВВЕДЕНИЕ

Данные указания представляет собой методические указания к выполнению лабораторной работы, в которую входят задания по темам: "Кривые второго порядка", "Кривые в полярных координатах", "Поверхности второго порядка".

Перед заданиями лабораторной работы приведены основные положения теории, определения, формулы, подробно рассмотрены решения типовых задач.

При выполнении лабораторной работы необходимо привести формулы, с помощью которых решается задача, сделать подробные вычисления и необходимые пояснения к решению.

4

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Линии второго порядка

Линия (кривая) второго порядка - это линия, определяемая урав­ нением второй степени относительно текущих координат х и у, т.е. уравнением вида:

Ах2 +Ву2 + Сху + Dx+Ey + F = 0

О)

При соответствующем выборе системы координат уравнение ли­ нии второго порядка можно привести к простейшему виду.

К линиям второго порядка относятся: эллипс, гипербола, па­ рабола.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (эта постоянная больше расстояния между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса:

х2 у2

a

b

(2)

 

где а=ОА - большая полуось, Ь=ОВ - малая полуось.

Координаты фокусов: F^-cjO), F2(c;0), где с=л/а2 - Ь2 .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большой полуоси 2а: е = - (е < 1, так как с<а).

5

Директрисами эллипса называются прямые, уравнения которых

а

х = + - .

£

Расстояние точки М(х,у) эллипса до фокусов (фокальные радиусы) определяются формулами:

Т\=а + ех ; Т2~а-ЕХ .

В частном случае а=Ь фокусы F! и F2 совпадают с центром, а ка­ ноническое уравнение имеет вид:

х2

у1

= 1, ИЛИ х2

• , • > • >

— + ^

+v 2

о"

а

 

 

т.е. описывает окружность радиуса а с центром в начале координат.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (указанная разность берется по абсолютному значению; требуется также, чтобы она была меньше расстояния меж­ ду фокусами и отлична от нуля).

Каноническое уравнение гиперболы:

а2 Ъг ' '

(3)

где a=OAi=OA2- действительная полуось; b - мнимая полуось.

Фокусы гиперболы: F|(-ft;0), F2(c;0), где с = ыа2 + Ь2 .

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение е = — (е > 1, так как с>а).

Асимптоты гиперболы: у=±—х.

Расстояния точки М(х;у) гиперболы до ее фокусов определяется формулами: ri=|sc + o|; r2= |sc — л|.

Прямые х=±- называются директрисами гиперболы.

х2

у2

х2

у2

Гиперболы ~т-тг= 1 и + = ' называются сопряженными. Гипербола с равными полуосями (а=Ь) называется равносторон­

ней, ее уравнение:

х222

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (ди­ ректрисы).

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и про­ ходящей через начало координат, имеет вид:

у2 = 2рх,

(4)

Р

Р

Уравнение директрисы х = -—. Парабола имеет фокус F(—;0), Фокальный радиус точки М(х;у) параболы выражается формулой

7

Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат, имеет уравнение:

• 2ру

(5)

Уравнение директрисы этой параболы: у = -—.

Фокус параболы: F(0; —).

Фокальный радиус точки М(х;у) параболы: х=у + '

1.2 Кривые второго порядка в полярных координатах

Полярными координатами точки М на плоскости называется по­ лярный радиус р = ОМ >0 и полярный угол = ZPOM , отсчитываемый от полярной оси ОР к отрезку ОМ против движения часовой стрелки (<0, если поворот осуществляется по часовой стрелке). Значение уг­ ла, удовлетворяющее условию 0< <р < О, называют главным значением.

Прямоугольные декартовы координаты и полярные координаты точки М, при условии, что начало декартовой системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох декарто­ вой системы координат совпадает с направлением полярной оси, свя­ заны формулами:

х = p-cos<p

y = p-smcp

 

p = Jx2+y2

У

(6)

lg<P = Z

Уравнение линии на плоскости в полярных координатах:

F(p;<p)=0

(7)

Примеры некоторых кривых и их уравнений в полярных коорди­ натах:

а

г=—

г2 = 2а2 cos2<p

Г= а • (sin 2(p\

r=2a-(l + cos^)

r = 2 a - c o s p ± £

спираль Архимеда

(8)

гиперболическая спираль

(9)

логарифмическая спираль

(10)

лемниската Бернулли

(И)

четырехлепестковая роза

(12)

кардиоида

 

(13)

улитка Паскаля

 

(14)

эллипс, если £•<},

 

парабола, если

£=\,

(15)

гипербола, если

Е>\.

 

 

 

90

 

120

60

180 Н 1 1-

А—I- 0

Рисунок 1 - Спираль Архимеда

Рисунок 2 - Гиперболическая спираль

180—1 1—Н I l l y о

Рисунок 3 - Логарифмическая спираль

Рисунок 4 - Лемниската Бернулли

9

1801 I I

 

180ы—i—^

 

240

300

240 -*-

300

 

 

270

 

Рисунок 5 - Четырехлепестковая роза

Рисунок 6 - Кардиоида

1801

1

(•

 

 

240

-*-

300

 

 

270

 

Рисунок 7 - Улитка Паскаля

1.3 Параметрические уравнения

Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида:

x = <p,(t),

(16)

где ip,(t),(p2(t) - функции переменной t

1.4 Преобразования прямоугольных координат

У i

У

 

 

 

 

 

м

 

 

 

~11

 

 

 

Y 1

У

 

 

 

—— н1

 

 

X

о, •П1

X

0

• 1

 

 

т а

 

 

Л*

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]