Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Batranina_kriv_ipoverhn

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
313.75 Кб
Скачать

3) плоскостью Oyz:-U2

у2

z-

=>-

= 1- сечение плоско-

J — + ^

= 1

4

36

[16

4

36

 

 

стью Oyz есть гипербола с действительной осью Оу и мнимой осью Oz, полуоси Ь=2, с=6.

Найдем сечения гиперболоида плоскостями, параллельными ко­

ординатным плоскостям:

 

 

 

 

1)

 

плоскостью,

 

параллельной

плоскости

Оху:

z = h,

 

\z = h,

 

 

 

 

х2 у2

/j2

=>\х2

У2

h1

' сечение есть

эллипс с полуосями

Тб+ Т~36 = 1 1Тб"+Т = 1 + 36

 

 

 

a = 4-Jl + — И 6 = 2-Jl + —.

 

 

 

 

V

36

V

36

 

 

 

 

При уменьшении h полуоси эллипса уменьшаются, при увеличе­ нии h - увеличиваются.

21

В частности при z = ±6 получаем сечение плоскостями параллель­ ными оси Оху:

[-- = ±6,

-L2 у2 - эллипс с полуосями V32 и л/8 . 17?+ 4

2)

плоскостью, параллельной

плоскости Oxz: \xх~i

у*

 

 

 

 

 

16

~4 36 = 1

* - * - = !. *-

очевидно, что при 1*1 <2 сечение есть гипербола с дей-

16

36

4

>

г

i

 

ствительной осью Ох, а при \к\> 2 сечение будет гиперболой с дейст­ вительной осью Oz, при |*| = 2 сечение представляет собой пару пря­ мых, пересекающихся в точке (0;2;0) или (0;-2;0);

3) аналогично пункту 2).

По исследованным сечениям восстановим заданную поверхность.

22

6)3x2-2y2

-24z

= 0

Разделим

обе

части уравнения на 24 и перенесем переменную

в первой степени в правую часть:

х2 у2

— - тг = z - это уравнение гиперболического параболоида.

Эта поверхность симметрична относительно плоскости Oxz и от­ носительно оси Oz, т.к. при замене в уравнении х на (-х), у на (-у) уравнение не меняется. Относительно плоскости Оху и осей Ох, Оу поверхность не симметрична, центра симметрии не имеет. Все три ко­ ординатные оси имеют с гиперболическим параболоидом только одну общую точку - начало координат.

Рассмотрим сечения поверхности координатными плоскостями:

h0'

 

я

1) плоскостью Оху:\х2

у2

_

=>.F = ±J-• х-сечение представ-

{Y~~i2~z'

 

ляет собой пару прямых, пересекающихся в начале координат.

2) плоскостью Oxz: \х2

у2

 

==>^~ = z (1) - парабола с осью Oz,

18

12

~ Z '

 

вершиной (0;0;0), ветви параболы направлены в положительном на­ правлении оси Oz.

fx = 0,

=>-— = ? (2) - парабола с осью

3) плоскостью Oyz:-U2 у2

I 8 12

Oz, вершиной (0;0;0), ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Oz.

Рассмотрим сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

1) плоскостью, параллельной Oyz:-L*

v*

=> У = ~ 1 2 z - ~ 5 ~ -

 

— = z;

I

о J

18

12

 

 

h2

парабола с осью Oz и вершиной A(h;0;—), которая лежит на пара-

о

боле(1).

В частности сечение поверхности плоскостью х=±8 есть парабола у2 = -l2(z-8) с осью Oz и вершиной (±8;0;8), которая лежит на парабо­ ле (1), ветви направлены в отрицательном направлении оси Oz.

23

[ Z = * .

 

 

 

2

2

 

 

2

2

=>

x

_

у

= 1 с е ч е

"

2) плоскостью, параллельной Oxy:-U

v

 

~Т Т>Г

~

ПГ~Т2~~2'

 

 

 

 

 

 

нием является гипербола:

если к>0, то действительная ось - Ох, вершины гиперболы лежат на параболе (1), если к<0, то действительная ось - Оу, вершины гиперболы лежат на параболе (2);

3) плоскостью, параллельной

Oxz:<

11

 

8

12,

 

12

парабола с осью Oz и вершиной

/2

 

(0;/;--—), которая лежит на пара­

боле (2).

По полученным сечениям восстановим заданную поверхность. Плоскости х=8 и х=-8 ограничивают данную поверхность.

Литература: [5], стр. 186-197; [8], стр. 157-167; [9], стр. 102-125.

Пример 3

Построить кривую, заданную в полярных координатах по точкам,

начиная от = о до = с шагом —. Найти уравнение заданной кри-

о

вой в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.

24

а) у = е'

и; ' - 5 -4cos^>

Решение:

а)г = е*

Составим таблицу значений функции:

л

л

, л \ л 5* з* 7*

9* 5*

7*

¥4 8 1 2 8 4 8 8 4 8 2 1 8 4 8

г1 1.18 2.19 3.25|4.81 7.12 10.6 15.8 23 34.3 50.8 75.2 111 11651244 361 536л<р 0 3 * 13* 15*

Построим кривую по получившимся точкам:

Запишем уравнение кривой в декартовых координатах, для чего

у

воспользуемся формулами: г2 = х2 + у2, <р = arctg—.

Прологарифмируем обе части данного уравнения:

lnr = lne^, lnr = ^>-lne, lnr = <p,

ln(jx2+y2) = arctg-уx, \n(x2 +y2) = 2arctg-;

25

5-4cos(p

Построим таблицу значений функции:

 

 

я

л

 

п

5*

з*

7*

ж

9*

5 ^

11*

3 *

13*

7*

 

 

0

8

8

8

' s i 2 л-

I

4

2

8

4

 

 

 

4

8

2

8

4

г

9

6.9

4.14

2.59

1.8

1.38

1.15

1.04

1

1.04 1.15

1.38

1.8

2.59

1.14

6.9

9

По соответствующим точкам построим кривую:

7 я«

9л/8

15л/8

11 л/8

13л/8

 

Зц/2

Запишем уравнение кривой в декартовых координатах, воспользо-

у

х2 2, tgq> = ~, о т к у д а х =r-cosq> y = r-sm<p

Получаем:

^77 =

х—,

 

 

 

 

5 - 4 -

*

 

 

 

 

22

 

5--Jx2 + у2 - = 9,

 

25(х2

+ у2)

= (9 + 4х)2,

 

25х2

+25у2

= 81 + 72дг +\6х2,

 

2 -72л- +25у2

- 8 1 = 0,

 

9(х

-А)2

+ 25у2

= 2 2 5 ,

 

(* - 4)2

у г

 

 

25

 

9

 

Получили каноническое уравнение эллипса в декартовых коорди­ натах.

Литература: [5], стр. 68-77; [8], стр. 81-87; [9], стр. 93-96.

26

4 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука, 1976.

2.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической гео­ метрии./ Я.С. Бугров, СМ. Никольский - М.: Наука, 1985.

3.Ильин В.А. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. Т.1,ч.2. - М.: Наука, 1981.

4.Мантуров О.В. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев - М.: Высшая школа, 1986.

5.Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Мн.: БГУ, 1973 .

6.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, и др. - М.: Высшая школа, 1986.

7.Минаева Е.Д. Линии второго порядка. - Орел, 1997.

8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1975.

9.Сборник задач по математике для втузов, ч.1. Линейная алгебра

иосновы математического анализа: Учебное пособие для втузов/ под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1986.

10.Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров

иучащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяк - М.: Наука, 1986.

27

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]