Batranina_kriv_ipoverhn
.pdf3) плоскостью Oyz:-U2 |
у2 |
z- |
=>- |
= 1- сечение плоско- |
J — + ^ |
= 1 |
4 |
36 |
|
[16 |
4 |
36 |
|
|
стью Oyz есть гипербола с действительной осью Оу и мнимой осью Oz, полуоси Ь=2, с=6.
Найдем сечения гиперболоида плоскостями, параллельными ко
ординатным плоскостям: |
|
|
|
|
|||
1) |
|
плоскостью, |
|
параллельной |
плоскости |
Оху: |
|
z = h, |
|
\z = h, |
|
|
|
|
|
х2 у2 |
/j2 |
=>\х2 |
У2 |
h1 |
' сечение есть |
эллипс с полуосями |
|
Тб+ Т~36 = 1 1Тб"+Т = 1 + 36 |
|
|
|
||||
a = 4-Jl + — И 6 = 2-Jl + —. |
|
|
|
|
|||
V |
36 |
V |
36 |
|
|
|
|
При уменьшении h полуоси эллипса уменьшаются, при увеличе нии h - увеличиваются.
21
В частности при z = ±6 получаем сечение плоскостями параллель ными оси Оху:
[-- = ±6,
-L2 у2 - эллипс с полуосями V32 и л/8 . 17?+ 4
2) |
плоскостью, параллельной |
плоскости Oxz: \xх~i |
у* |
|||
|
|
|
|
|
16 |
~4 36 = 1 |
* - * - = !. *- |
очевидно, что при 1*1 <2 сечение есть гипербола с дей- |
|||||
16 |
36 |
4 |
> |
г |
i |
|
ствительной осью Ох, а при \к\> 2 сечение будет гиперболой с дейст вительной осью Oz, при |*| = 2 сечение представляет собой пару пря мых, пересекающихся в точке (0;2;0) или (0;-2;0);
3) аналогично пункту 2).
По исследованным сечениям восстановим заданную поверхность.
22
6)3x2-2y2 |
-24z |
= 0 |
Разделим |
обе |
части уравнения на 24 и перенесем переменную |
в первой степени в правую часть:
х2 у2
— - тг = z - это уравнение гиперболического параболоида.
Эта поверхность симметрична относительно плоскости Oxz и от носительно оси Oz, т.к. при замене в уравнении х на (-х), у на (-у) уравнение не меняется. Относительно плоскости Оху и осей Ох, Оу поверхность не симметрична, центра симметрии не имеет. Все три ко ординатные оси имеют с гиперболическим параболоидом только одну общую точку - начало координат.
Рассмотрим сечения поверхности координатными плоскостями: |
|||
h0' |
|
я |
|
1) плоскостью Оху:\х2 |
у2 |
_ |
=>.F = ±J-• х-сечение представ- |
{Y~~i2~z' |
|
||
ляет собой пару прямых, пересекающихся в начале координат. |
|||
2) плоскостью Oxz: \х2 |
у2 |
|
==>^~ = z (1) - парабола с осью Oz, |
18 |
12 |
~ Z ' |
|
вершиной (0;0;0), ветви параболы направлены в положительном на правлении оси Oz.
fx = 0, |
=>-— = ? (2) - парабола с осью |
3) плоскостью Oyz:-U2 у2 |
I 8 12
Oz, вершиной (0;0;0), ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Oz.
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям:
1) плоскостью, параллельной Oyz:-L* |
v* |
=> У = ~ 1 2 z - ~ 5 ~ - |
|
|
— = z; |
I |
о J |
18 |
12 |
|
|
h2
парабола с осью Oz и вершиной A(h;0;—), которая лежит на пара-
о
боле(1).
В частности сечение поверхности плоскостью х=±8 есть парабола у2 = -l2(z-8) с осью Oz и вершиной (±8;0;8), которая лежит на парабо ле (1), ветви направлены в отрицательном направлении оси Oz.
23
[ Z = * . |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
=> |
x |
_ |
у |
= 1 с е ч е |
" |
2) плоскостью, параллельной Oxy:-U |
v |
|
~Т Т>Г |
~ |
|||
ПГ~Т2~~2' |
|
|
|
|
|
|
|
нием является гипербола:
если к>0, то действительная ось - Ох, вершины гиперболы лежат на параболе (1), если к<0, то действительная ось - Оу, вершины гиперболы лежат на параболе (2);
3) плоскостью, параллельной |
Oxz:< |
11 |
|
8 |
12, |
|
12 |
|
парабола с осью Oz и вершиной |
/2 |
|
(0;/;--—), которая лежит на пара |
||
боле (2).
По полученным сечениям восстановим заданную поверхность. Плоскости х=8 и х=-8 ограничивают данную поверхность.
Литература: [5], стр. 186-197; [8], стр. 157-167; [9], стр. 102-125.
Пример 3
Построить кривую, заданную в полярных координатах по точкам,
начиная от <р = о до <р = 2л с шагом —. Найти уравнение заданной кри-
о
вой в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.
24
а) у = е'
и; ' - 5 -4cos^>
Решение:
а)г = е*
Составим таблицу значений функции:
л |
л |
, л \ л 5* з* 7* |
9* 5* |
7* |
¥4 8 1 2 8 4 8 8 4 8 2 1 8 4 8
г1 1.18 2.19 3.25|4.81 7.12 10.6 15.8 23 34.3 50.8 75.2 111 11651244 361 536л<р 0 2л3 * 13* 15*
Построим кривую по получившимся точкам:
Запишем уравнение кривой в декартовых координатах, для чего
у
воспользуемся формулами: г2 = х2 + у2, <р = arctg—.
Прологарифмируем обе части данного уравнения:
lnr = lne^, lnr = ^>-lne, lnr = <p,
ln(jx2+y2) = arctg-уx, \n(x2 +y2) = 2arctg-;
25
5-4cos(p
Построим таблицу значений функции:
|
|
я |
л |
|
п |
5* |
з* |
7* |
ж |
9* |
5 ^ |
11* |
3 * |
13* |
7* |
|
|
<р 0 |
8 |
8 |
8 |
' s i 2 л- |
|||||||||||||
I |
4 |
2 |
8 |
4 |
|
|
|
4 |
8 |
2 |
8 |
4 |
|||||
г |
9 |
6.9 |
4.14 |
2.59 |
1.8 |
1.38 |
1.15 |
1.04 |
1 |
1.04 1.15 |
1.38 |
1.8 |
2.59 |
1.14 |
6.9 |
9 |
|
По соответствующим точкам построим кривую:
7 я«
9л/8 |
15л/8 |
11 л/8 |
13л/8 |
|
Зц/2 |
Запишем уравнение кривой в декартовых координатах, воспользо-
у
х2 +У2, tgq> = ~, о т к у д а х =r-cosq> y = r-sm<p
Получаем: |
^77 = |
—х—, |
||
|
||||
|
|
|
5 - 4 - |
• * |
|
|
|
|
^х2+У2 |
|
5--Jx2 + у2 - 4х = 9, |
|||
|
25(х2 |
+ у2) |
= (9 + 4х)2, |
|
|
25х2 |
+25у2 |
= 81 + 72дг +\6х2, |
|
|
9х2 -72л- +25у2 |
- 8 1 = 0, |
||
|
9(х |
-А)2 |
+ 25у2 |
= 2 2 5 , |
|
(* - 4)2 |
у г |
|
|
|
25 |
|
9 |
|
Получили каноническое уравнение эллипса в декартовых коорди натах.
Литература: [5], стр. 68-77; [8], стр. 81-87; [9], стр. 93-96.
26
4 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.- М.: Наука, 1976.
2.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической гео метрии./ Я.С. Бугров, СМ. Никольский - М.: Наука, 1985.
3.Ильин В.А. Аналитическая геометрия. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. Т.1,ч.2. - М.: Наука, 1981.
4.Мантуров О.В. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. / О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев - М.: Высшая школа, 1986.
5.Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Мн.: БГУ, 1973 .
6.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, и др. - М.: Высшая школа, 1986.
7.Минаева Е.Д. Линии второго порядка. - Орел, 1997.
8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1975.
9.Сборник задач по математике для втузов, ч.1. Линейная алгебра
иосновы математического анализа: Учебное пособие для втузов/ под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1986.
10.Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров
иучащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяк - М.: Наука, 1986.
27