Batranina_kriv_ipoverhn
.pdfКоординаты (х;у) точки М в прямоугольной декартовой системе координат Оху (старой) и ее координаты (X;Y) в другой прямоуголь ной системе 0]XY (новой) связаны формулами:
|
|
\х = X + а, |
\Х = х -а, |
при параллельном переносе |
< |
или < |
|
где (а; Ь) - координаты нового начала О, в старой системе ко |
|||
ординат; |
|
|
|
при повороте осей вокруг начала координат на угол а: |
|||
х = X • cosa - Y • sina, |
|||
у = X • sina + Y • cosa. |
|||
», |
м \V X |
||
|
|
||
|
|
й> |
|
yd |
|
У |
|
|
|
/ W |
ОС |
^0 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение вида (1) путем выделения полного квадрата и исполь зуя далее преобразования прямоугольных координат, о которых гово рилось выше, можно привести к одному из видов (2)-(5).
1.5 Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность, опреде ляемая уравнениями второй степени относительно текущих координат х, у, z.
При соответствующем выборе прямоугольной декартовой систе мы координат в пространстве уравнение поверхности второго порядка можно привести к одному из видов:
У |
z" |
эллипсоид |
(17) |
- + ^ - + - = 1 |
|||
о |
с |
|
|
11
£1 |
Zl |
с2 |
|
а2 + Ь2~ |
|
||
£1 |
Zl |
|
|
о2 + б2 " с2 |
|
||
х2 |
у2 |
-4=о |
|
а2 |
Ъ2 |
с" |
|
£1 |
+ Zl.= 2z |
|
|
а2+ |
b2 ' |
|
|
х2 |
у2 |
= 22 |
|
а2 |
Ь2 |
|
|
4+4 = 1 |
|
||
а- |
Ь2 |
|
|
х2 |
у2 |
= 1 |
|
а2 |
Ь2 |
|
|
у2=2рх |
|
|
|
х2 |
у2 |
= 0 |
|
а2 |
Ь2 |
|
|
х2 |
|
|
|
а2 |
|
|
|
х 2 = 0 |
с" |
|
|
44 |
|
||
|
|
z~ |
|
|
|
+ — = 0 |
|
о |
b |
|
|
Х~Х = 0 |
|
||
2 |
^ . 2 |
4- |
|
а2 |
Ь2 |
|
|
a |
b |
|
1 |
4+4 |
|
||
4+4 =-\ |
|
||
а2 |
б2 |
|
|
х2 |
|
|
|
— = - ]
а'
однополостный гиперболоид
двуполостный гиперболоид
конус
эллиптический параболоид
гиперболический параболоид
эллиптический цилиндр
гиперболический цилиндр параболический цилиндр пара пересекающихся плоскостей
пара параллельных плоскостей пара совпадающих плоскостей мнимый конус
пара мнимых пересекающихся плоскостей
мнимый эллипсоид
мнимый эллиптический цилиндр
пара мнимых параллельных плоскостей
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Рисунок 8 - Эллипсоид |
Рисунок 9 - Однополостный гиперболоид |
12
Рисунок 10Двуполостный гиперболоид
Рисунок 12 - Эллиптический параболоид
Zi
Рисунок 14 - Эллиптический цилиндр
Рисунок 16 - Параболический цилиндр
Рисунок 13 -Гиперболический параболоид
I
Рисунок 15 - Гиперболический цилиндр
Z
Рисунок 17 - Пара пересекающихся плоскостей
13
Рисунок 18 - Пара параллельных |
Рисунок 19 - Пара совпадающих |
плоскостей |
плоскостей |
2 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Щ. Записать каноническое уравнение и определить вид кривой. За писать уравнения директрис, асимптот (если это необходимо). Оп ределить координаты фокусов, вершин, центров и другие параметры полученной кривой.
1.1 |
4х~+8х+у-2у-11=0 |
1.2 |
х2+у2-4х+2у-4=0 |
|
1.3 |
9х2+4у-24у=0 |
1.4 |
|
х2+4у-6х+5=0 |
1.5 |
16х2+9у-32х-36у-92=0 |
1.6 |
|
4х2+у-8х-4у-8=0 |
1.7 |
х2+4у2-4х-32=0 |
1.8 |
х2+25у2+2х+100у-124=0 |
|
1.9 |
х2+4х+4у2-32=0 |
1.10 |
х2+у2+2х-4у-4=0 |
|
1.11 у2-х-2у+4=0 |
1.12 |
/-&с-6у+27=0 |
||
1.13 |
х2-2х-у-5=0 |
1.14 |
х2-8х-8у+24=0 |
|
1.15 |
2у2-х-12у+14=0 |
1.16 |
/+л><5=0 |
|
1.17 |
х+у2-2у-1=0 |
1.18 |
4xV&t+7=0 |
|
1.19 9х2-у2+36х+45=0 |
1.20 |
4х2-25у2-8х-100у-196=0 |
||
1.21 |
9х2-4у+18х+16у-43=0 |
1.22 |
Хг-4у2-6х-24у-31=0 |
|
1.23 |
х2-4у2—2х+8у-19=0 |
1.24 |
4у-х2+4х+12=0 |
|
14
1.25-25х2+25у —100х+100у-225=0 1.26 5х2+5у2-30х+20у+20=0
\21 9х2-4у2+72х-16у+92=0 |
1.28 |
9х2-у+3бх=0 |
1.29 9х2-у-54х-4у+41=0 |
1.30 |
9х2+у+2у-35=0 |
2. Записать каноническое уравнение поверхности. Определить ее вид. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями.
2.1 4x2-y2+2z2-16x+12=0, |
2.2 |
9x2-2y2+4z2+18x-8z+49=0, |
у=0, у=3 |
|
у=6 |
2.3 9x2+4y2-z2-18x-16y+61=0, |
2.4 |
2x2+8y-8z=0, |
z=12 |
|
z=4 |
2.54x2+y-z2+16x+12=0, 2.6 4x2+9y2-36z2+8x+144z-176=0,
z=0, z=2 |
z=3, z=0 |
2.74x2+9y-36z2+8x+144z-176=0, 2.8 x2-9y2-2x-z+l=0,
y=0, y=2 |
|
z=3 |
2.9 9x2-16y2+9z2+144=0, |
2.10 |
4x2+9y2-z2+36=0, |
y=0 |
|
z=12 |
2.11 9x2+16y2+9z2-144=0, |
2.12 |
9x2+V+-?6z2-72z=0, |
JC=0, x=2 |
|
z=l, z=2 |
2.13 x2+9y2-2x-S=0, |
2.14 |
-4x2+9y2+z2+36=0, |
z=y, y=0 |
|
x=8 |
2.15 9x2+4y-z2-2x-16y-U=0, |
2.16 |
4x?+9yl-36z2-24x=0, |
x=2, x=l |
|
z=0, z=4 |
2.17 2x2-S/-^=0, |
2.18 |
-4x2+16y2+z2-32y=0, |
z=4 |
|
x=0, x=2 |
2.19 x2+4y2+6x-8y-4z+13=0, |
2.20 |
x2+/+z2-.3<5=0, |
z=4 |
|
x=0, x=2 |
2.21 2x2+i8y2-z=0, |
2.22 4x2+16y2+z2-32y=0, |
|
z=18 |
|
z=-2, z=2 |
15
2.23 |
4x2+16y+z2+32y=0, |
2.24 4x2+9y2+8x+36y-z2+4=0, |
|
z=0, z=3 |
z=0, z=4 |
2.25 |
16x2-9y+9z2=0, |
2.26 9x2+25y2-225z2-225=0, |
|
y=0, y=3 |
z=0, z=2 |
2.27 y2-4x2+16z2=0, |
2.28 9x2+y2-18x=0, |
|
|
x=0, x=2 |
z=4, z=l |
2.29 4x2+9y-z2-8x-36y+4=0, |
2.30 4x2-4y-4z2-16x-32=0 |
|
|
z=0, z=2 |
z=0, z=3 |
3. Построить кривую, заданную в полярных координатах по точ-
ж
ком, начиная от ср = 0 до <р = 2л с шагом —. Найти уравнение задан-
о
ной кривой в декартовой системе координат, у которой начало сов падает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью.
3.1 |
1 0 |
3.2 |
r=a-|cos2<p| |
|
|
2 + cos<z> |
|
|
|
3.3 |
r=o-cos3<p |
ЪА |
г- |
' |
|
|
|
|
1 + 2cos^£> |
3.5 |
r=a(]-sin<p) |
3.6 |
г- |
' |
3.7 |
|
|
|
2 + COS^J |
15 |
|
|
|
|
|
3-4cos<p |
3.8 |
_ |
3(l - 1cos <p) |
3.9 |
Г2= a2 • sin 2(p |
3.10 |
r"=a2cosip |
|
3.11 |
г=5ш |
3.12 |
_ |
l |
6 + 3cosp
16
3 . 1 9 |
j _ |
3 |
3 . 20 |
, _ |
i |
|
|
l-2cos<p |
|
|
2(l-cos(p) |
3 .21 |
T=a-sin2<p |
3.22 |
r=a-(l + cos<p) |
||
3 . 23 |
r _ |
1 |
3 . 24 |
r = _ L _ |
|
|
|
2 + cos^> |
|
|
1 + cosip |
3 . 25 |
r=a-(l-cosfp) |
3.26 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 -3cos#> |
3.27 r=_J__ |
3.28 |
r = - _ L _ |
|||
|
|
3-cos<p |
|
|
2 + cos<p |
3.29 |
_ |
1 |
3.30 |
_ |
i |
|
|
5-(l-cos<p) |
|
|
2-(l + 2cos<p) |
3 ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИИ
Пример 1
Записать каноническое уравнение и определить вид кривой, данной уравнением:
1 6 х 2 - 9 у 2 - 64* - 54^ - 161 = 0 .
Определить основные параметры кривой. Изобразить кривую плоскости.
Решение:
16л:2 - 9у2 - (Ах - 54у - 161 = 0
Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полный квадрат:
1 6 - [ ( x 2 - 4 x + 4 ) - 4 ] - 9 - [ ( ; r + 6 y + 9)-9]-161 = 0 ,
1 6 - ( * - 2 ) 2 - 6 4 - 9 - ( у + 3)2 +81-161 = 0, 16-(;с-2)2 -9-(у + 3)2 -144 = 0,
16(х-2)2-9(у+3)2=144.
17
Разделим обе части уравнения на 144:
(х-2)2 |
(у + 3)2 |
_ |
сме- |
1 —-~ - |
16 |
=1 -это каноническое уравнение гиперболы со |
|
9 |
|
|
|
щенным центром. Координаты центра Oi(2;-3). |
|
||
Осуществим |
параллельный перенос системы координат |
Оху: |
|
\Х=х-2, \Г = у + Ъ;
тогда в новой системе координат OjXY уравнение гиперболы будет иметь вид:
9 16 ~ "
Действительная ось этой гиперболы - ось OjX, мнимая ось - ось OiY, фокусы лежат на оси ОД.
Определим параметры гиперболы: а) полуоси гиперболы а = 3, Ъ = 4 ;
б) межфокальное расстояние с = Vo2 + Ь2 => с = 5;
в) координаты фокусов в новой системе координат OjXY:
|
|
Р,=(5;0),Р2=(-5;0), |
в старой системе координат Оху: |
||
|
F,=(7;-3), F2=(-3;-3); |
|
. |
с |
5 |
г) эксцентриситет е = - => е = - ; д) уравнение асимптот в новой системе координат:
ь |
=>г |
4 |
|
Y = ±-х |
=±-х, |
|
|
а |
|
3 |
|
в старой системе координат: |
|
|
|
4 / |
„\ |
4 |
17 |
У +3 = ±~(х -2) => у = -х |
- Y, |
||
е) уравнение директрис в новой системе координат:
Е5
18
встарой системе координат:
•v-2 = ± ? ,
, 4 |
1 |
х = 4—и |
х = - ; |
5 |
5 |
ж) строим график
Литература: [5], стр. 44-59; [8], стр. 52-81; [9], стр. 82-89.
Пример 2
Записать каноническое уравнение поверхности. Определить ее вид. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями:
а) 9х2 + 36/ - 4z2 -144 = о, z=-6, z=6;
б) Зх2 - 2у2 - 24z = 0, Х=8, Х=-8.
Решение:
a) 9 J T 2 + 3 6 > ' 2 - 4 Z 2 - 1 4 4 = 0 ;
9^ 2 +36y 2 - 4z 2 =144.
19
Разделим обе части уравнения на 144
х у' z" |
(1) |
|
Это уравнение однополостного гиперболоида с полуосями а=4, Ь=2, с=6.
Однополостный гиперболоид симметричен относительно коорди натных плоскостей, координатных осей, начала координат, т.к. если в уравнении (1) заменить х на (-х), у на (-у), z на (-z), то уравнение не изменится.
Найдем сечения гиперболоида координатными плоскостями (главные сечения):
[2 = 0, |
— + ~ = 1- сечение плоско- |
|
1) плоскостью Oxy-.-L2 у2 2г |
||
|7б+ Т~зб_ |
16 |
4 |
|
|
|
стью Оху есть эллипс с полуосями а=4,Ь=2 и центром в О(0;0;0)
у = 0, |
|
|
|
|
2) плоскостью Oxz:- |
|
|
77 |
_ Т7 ~ ' - сечение плоско- |
116 |
4 |
36 |
16 |
36 |
|
|
стью Oxz есть гипербола с действительной осью Ох и мнимой осью Oz, полуоси а=4, с=6.
20