Kalashnikova_Nacher_geom

При всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции П1, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси проекций х.

В случае произвольного перемещения точки в плоскости, параллельной плоскости П2, ее горизонтальная проекция перемещается по

тальная проекция точки А1 перемещается в положение А'1 по той же произвольной траектории, что и сама точка А.

Рассмотрим основные задачи, решаемые способом плоскопараллельного перемещения. Четыре задачи, рассмотренные при изучении темы замены плоскостей проекций, можно свести к двум комбинированным.

Задача 1. Отрезок [AB] прямой общего положения перевести в положение проецирующей прямой (рис. 7.2).

Задача решается в два этапа:

1. Отрезок [АВ] переводится в положение линии уровня, т.е. параллельное плоскости проекций П2. У отрезка [АВ], параллельного плоскости П2, горизонтальная проекция должна быть параллельна оси проекций х. Поэтому переводим проекцию [А1В1] в новое положение [А'1В'1] параллельно оси х. При этом новая горизонтальная проекция [А'1В'1] равна по длине исходной [А1В1].

Фронтальные проекции точек отрезка [A2B2] будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси проекций х. Для построения фронтальной проекции отрезка в перемещенном положе-

нии [А'2В'2] из проекций А'1 и В'1 проведем линии связи, перпендикулярные к оси х, и найдем точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными из проекций А2 и В2.

Рис. 7.2

Выполнив эти действия, мы достигли следующего: отрезок [А'В'] параллелен плоскости проекций П2;

проекция [А'2В'2] определяет натуральную величину отрезка [АВ];

угол , образованный проекцией [А'2В'2] с осью х, определяет угол наклона отрезка [АВ] к плоскости П1.

2. Отрезок [А'В'] переводится в положение проецирующей прямой.

Фронтальная проекция отрезка [А'2В'2] перемещается в новое положение [А''2В''2], перпендикулярное к оси проекций х, при этом величина отрезков [А'2В'2] и [А''2В''2] не меняется. Горизонтальная проекция отрезка [А''1В''1] находится по ранее изложенному способу. Отрезок [А''В''] перпендикулярен к плоскости П1, следовательно, имеет вырожденную горизонтальную проекцию [А''1В''1] в виде точки.

Задача 2. Плоскость Σ (ABC) общего положения перевести в положение плоскости уровня (рис. 7.3).

Задача решается в два этапа:

1. Плоскость Σ(ABC) переводится в проецирующее положение. Для этого в плоскости треугольника ABC проводим горизонталь h

через точки C и 1. Горизонтальную проекцию A1B1C1 треугольника перемещаем без изменения размеров в положение А'1В'1С'1 так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали h'1 была перпендикулярна к

оси проекций х. Фронтальной проекцией треугольника в новом положении является прямая А'2В'2С'2, т.е. плоскость треугольника стала фронтально проецирующей.

Рис. 7.3

Выполнив эти действия, мы достигли следующего:

плоскость Σ'(A'B'C') стала перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций П2;

угол , образованный проекцией – следом А'2В'2С'2 с осью х, равен натуральной величине угла наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости проекций П1.

2. Плоскость Σ'(A'B'C') переводится в положение плоскости уровня.

Фронтальную проекцию А'2В'2С'2 перемещаем в положение А''2В''2С''2, параллельное оси проекций х. Это соответствует тому, что в пространстве треугольник параллелен горизонтальной плоскости проекций П1. Проекция А''1В''1С''1 определяет натуральную величину треугольника ABC.

7.3Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

Вращение вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, является частным случаем плоскопараллельного перемещения. Отли-

чие состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения.

Проследим, как будет изменяться положение точки А при ее вращении вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости П1 (рис. 7.4).

Рис. 7.4 Рис. 7.5

Точка А перемещается по дуге окружности: в плоскости Σ, перпендикулярной к оси вращения i и, следовательно, параллельной горизонтальной плоскости проекций П1. Поэтому эта окружность проецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскость П2 – в отрезок прямой, параллельный оси проекций х.

Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций П1, горизонтальная проекция точки перемещается по окружности с центром на горизонтальной проекции оси вращения, а фронтальная – по прямой, параллельной оси проекций х (рис. 7.5).

Вращение точки вокруг оси i, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций, показано на рис. 7.6. Точка В перемещается в новое положение В' по окружности, принадлежащей фронтальной плоскости уровня . Фронтальная проекция

точки перемещается по окружности, центр которой принадлежит фронтальной проекции оси вращения, а горизонтальная проекция точки – по прямой, параллельной оси х.

Задача 7.3.1. Отрезок [АВ] прямой общего положения перевести в положение прямой, перпендикулярной к плоскости проекций П2

ций П1, перемещают отрезок в положение, перпендикулярное к плоскости П2. На рис. 7.7 отрезок [AB] вначале вращением вокруг оси вращения i П2 переведен в положение, параллельное плоскости П1 ([А'2В'2] || x). Затем вращением вокруг оси i' П1 отрезок [AB] перемещен во фронтально проецирующее положение ([А''1В''1] x). Для упрощения геометрических построений ось вращения следует выбирать так, чтобы она пересекала вращаемую прямую.

В случае перевода плоскости общего положения в частное задача решается аналогично вышерассмотренным примерам. Чтобы плоскость, произвольно расположенная в пространстве, заняла проецирующее положение, достаточно плоскость повернуть до того положения, когда линия уровня, принадлежащая этой плоскости, станет перпендикулярна к плоскости проекций.

Задача 7.3.2. Определить угол наклона плоскости Σ (ABC) к горизонтальной плоскости проекций (рис. 7.8).

Для решения задачи плоскость Σ необходимо перевести в положение фронтально проецирующей. Проведем в плоскости Σ горизонталь h.

Вращением вокруг оси i, проходящей через горизонталь h и пер-

данной следами, к плоскости П2 (рис. 7.9).

Поскольку плоскость Σ задана следами, выберем ось вращения i, расположенную в плоскости П1. Тогда ось i имеет со следом Σ1 общую точку 2. Из фронтальной проекции оси i2 опускаем перпендикуляр на след Σ2 и поворачиваем его

7.4Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций (вращение вокруг линии уровня)

Эффективным способом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путем такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекций. В этом случае ортогональная проекция любой принадлежащей плоскости фигуры будет равна оригиналу и, следовательно, позволит определить все метрические характеристики проецируемой фигуры непосредственно по ее проекции без каких-либо дополнительных построений.

Вращая плоскость вокруг горизонтали, можно перевести ее в положение, параллельное плоскости П1, и получить неискаженный вид геометрической фигуры на горизонтальной проекции. Вращение плоскости вокруг фронтали позволяет перевести ее в положение, параллельное плоскости П2, что обеспечит получение неискаженного вида фигуры на фронтальной проекции. Каждая точка плоскости при ее вращении перемещается по окружности, принадлежащей плоско-

сти, перпендикулярной к оси вращения. Центр окружности будет расположен на оси вращения, а величина радиуса вращения равна расстоянию от точки до оси вращения. Если за ось вращения взята горизонталь, то окружность, представляющая траекторию движения точки, будет проецироваться на плоскость П1 в отрезок прямой, перпендикулярной к горизонтальной проекции горизонтали. Точка пересечения горизонтальных проекций горизонтали и окружности определяет горизонтальную проекцию центра вращения.

Чтобы определить величину радиуса вращения |ОА|, необходимо построить в плоскости П1 прямоугольный треугольник О1А1А0. Для этого принимаем горизонтальную проекцию O1A1 за катет прямоугольного треугольника, второй катет равен разности аппликат концов отрезка [OA]: ZA - ZO = Z. Гипотенуза треугольника О1А1А0 – отрезок [O1A0] – равна искомому радиусу R. Новое, после поворота, положение точки A'1 находится в месте пересечения дуги окружности, проведенной из горизонтальной проекции центра вращения O1 радиусом, равным |O1A0|, с горизонтальным следом Σ1 плоскости Σ.

На рис. 7.12, а преобразования, описанные выше, выполнены на проекционном чертеже. На рис. 7.12, б показано вращение точки В вокруг фронтали f.

Рис. 7.12

Рассмотрим задачи, которые наиболее целесообразно решать способом вращения вокруг линии уровня.

Задача 7.4.1. Определить натуральную величину треугольника

ABC (рис. 7.13).

Проводим в плоскости треугольника через точку С горизонталь h. Вращаем точку В вокруг горизонтали h. Для этого на чертеже через точку B1 проведем прямую, перпендикулярную к проекции горизонтали h1, и отметим точку O1 – проекцию центра вращения. Для определения натуральной величины радиуса вращения точки В строим прямоугольный треугольник О1В1В0, у которого один катет – горизонтальная проекция O1В1 отрезка [ОВ], а второй катет равен разности аппликат точек В и О. Определяем величину |O1В0| ра-

диуса вращения точки В и отклады- Рис. 7.13 ваем его от точки O1 на линии O1В1.

Для построения повернутого положения точки А нет необходимости повторять проделанные для точки В построения. Для этого доста-