Kalashnikova_Nacher_geom

Для того чтобы построить центральную проекцию произвольной точки А (А П0, А S), проведем через точку S и точку А проецирующую прямую SА до пересечения ее с плоскостью проекций П0. Точка А0 пересечения проецирующей прямой с плоскостью является центральной проекцией изображаемой точки А. Если точка В принадлежит плоскости проекций П0, то она совпадает со своей проекцией: В = В0. Плоскость проекций является плоскостью двойных точек.

Выберем точку С таким образом, чтобы проецирующая прямая оказалась параллельной плоскости проекций: SС П0. Тогда прямая SС пересечет плоскость проекций П0 в несобственной (бесконечно удаленной) точке С0 .

Центральная проекция точки, совпадающей с центром проекций, не может быть построена, так как проецирующая прямая и проекция становятся в этом случае неопределенными. Для всех остальных точек при заданном аппарате проецирования каждая точка простран-

ства имеет центральную проекцию, причем только одну.

Точка А0 может быть центральной проекцией любой точки A , A , A ,…,

(рис. 1.2).

1.3Параллельное проецирование

Рассмотрим частный случай центрального проецирования, когда центр проекций помещен в несобственной точке S (удаленной в бес-

конечность). В этом случае задается направление проецирования s

(рис. 1.3).

ных и угловых величин), причем степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекций. Но наряду с этим между оригиналом и его проекцией существует определенная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции.

Свойства геометрических фигур, которые не изменяются в процессе проецирования, называются независимыми или инвариантными относительно выбранного способа проецирования.

Основные инвариантные свойства параллельного проецирования: 1. Проекцией множества является множество. В этом свойстве

заложен сам метод проецирования. В частности:

1)проекцией точки на плоскость является точка: А А0;

2)проекцией прямой линии на плоскость в общем случае является

прямая линия (рис. 1.6): ℓ ℓ0. Частный случай: если прямая m па-

раллельна направлению проецирования, то ее проекцией m0 является точка. Говорят, что прямая имеет вырожденную проекцию в виде точки (см. рис. 1.6).

2. Свойство принадлежности, ис-

пользуемое при решении позиционных задач. Если фигура Φ принадлежит фи-

гуре Ψ, то проекция фигуры Φ0 принадлежит проекции фигуры Ψ0:

Φ Ψ Φ0 Ψ0.

Отсюда:

1)если точка А принадлежит линии ℓ, то ортогональная проекция точки А0 принадлежит ортогональной проекции линии ℓ0:

Аℓ А0 ℓ0 ;

2)если линия ℓ принадлежит по-

верхности Φ, то проекция линии ℓ0 принадлежит проекции поверхности

Φ0: ℓ Φ ℓ0 Φ0 ; 3) если точка К есть результат

пересечения линий а и b, то проекция этой точки К0 определяется пересе-

4) если прямые а и b параллельны в пространстве, то их проекции а0 и b0 также параллельны между собой (рис. 1.8):

а b а0 b0 .

Очевидно, что если параллельные прямые являются параллельными направлению проецирования, то они проецируются в две точки, и это свойство для них теряет смысл.

3.Свойства, используемые при решении метрических задач:

1)если отрезок [AB] параллелен отрезку [CD], то отношение длин отрезков равно отношению длин их ортогональных проекций (см. рис. 1.8):

[AB] [CD] AB A0 B0 ;

CD C0 D0

Рис. 1.8

2) если фигура Φ принадлежит плоскости Σ, параллельной плоскости проекций П0, то проекция фигуры Φ0 на данную плоскость проекций будет равна самой фигуре (будет являться натуральной величиной) (рис. 1.9):

(Φ Σ) ( П0) Φ0 = Φ.

Рис. 1.9

1.5Проецирование точки на две плоскости проекций

Чертежи, содержащие только одну проекцию геометрических фигур, являются необратимыми. По ним нельзя мысленно воссоздать форму и размеры изображенного объекта. Для того чтобы чертеж геометрической фигуры был обратимым, он должен содержать не менее двух проекций каждой ее точки.

Чертеж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемой фигуры, называется комплексным чертежом.

Потребность в плоских изображениях (изображения на плоскости) пространственных форм накапливалась постепенно с древних времен.

Французский ученый Гаспар Монж (1746 –1818) привел в систему постепенно накопившиеся до него правила и приемы построений и развил их, создав метод ортогонального параллельного проецирования.

Суть метода ортогонального параллельного проецирования состо-

ит в том, что рассматриваются параллельные прямоугольные проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Зададим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости и примем их за плоскости проекций. Плоскость П1 расположим гори-

зонтально и назовем горизонтальной плоскостью проекций, а плос-

кость П2, перпендикулярную к плоскости П1, расположим прямо пе-

ред собой и назовем фронтальной плоскостью проекций.

Плоскости пересекаются между собою по прямой, называемой осью проекций х.

Плоскости П1 и П2 делят пространство на четыре двугранных угла (четверти). Порядок отсчета четвертей ведется против часовой стрелки при взгляде на систему слева (рис. 1.10).

А – произвольная точка пространства; П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций;

x – ось проекций;

А1 – горизонтальная проекция точки А; А2 – фронтальная проекция точки А;

А1А2 – линия проекционной связи

Рис. 1.10

Построим ортогональные проекции точки А, находящейся в первой четверти, на плоскости П1 и П2:

А1 – горизонтальная проекция точки А; А2 – фронтальная проекция точки А.

Отрезок |АА2| выражает расстояние от точки А до плоскости П2 и определяется координатой у (ординатой) точки А: y AП2 Ax A1 .

Отрезок |АА1| выражает расстояние от точки А до плоскости П1 и определяется координатой z (аппликатой) точки А: z AП1 Ax A2 .

Пространственная модель плоскостей проекций неудобна для практического использования. Для того чтобы перейти от пространственной модели плоскостей проекций к плоскому чертежу, совместим плоскость П1 с плоскостью П2, вращая ее вокруг оси проекций х на 90° в направлении, указанном стрелками (рис. 1.11, а). При этом передняя пола горизонтальной плоскости проекций опускается вниз. Вместе с плоскостью перемещается и горизонтальная проекция точки А1. В результате такого совмещения получим комплексный чертеж точки А, известный еще под названием эпюр Монжа, состоящий из комплекса двух ее проекций А1 и А2, принадлежащих одной прямой, перпендикулярной к оси х. Эта прямая A1A2 называется

линией проекционной связи или просто линией связи.

В совмещенном положении чертеж точки А, расположенной в I четверти пространства, выглядит так, как показано на рис. 1.11, б.

Рис. 1.11

Полученный таким образом комплексный чертеж точки будет обратимым, так как две ее проекции А1 и А2 однозначно определяют положение точки А в пространстве. При переходе к комплексному чертежу утрачивается пространственная картина расположения плоскостей проекций и точек, но обеспечивается точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте построений.

1.6Проецирование точки на три плоскости проекций

Положение точки (любой геометрической фигуры) в пространстве может быть определено, если будет задана какая-либо система координат. Наиболее удобной для определения положения геометрической фигуры в пространстве и выявления ее формы по ортогональным проекциям является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 1.12).

П1 – горизонтальная плоскость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций.

П3 – профильная плоскость проекций; x, y, z – оси проекций

Рис. 1.12

Для построения третьей проекции фигуры используется профильная плоскость проекций П3, перпендикулярная к плоскостям П1 и П2. Ортогональная проекция А3 точки А на профильную плоскость проек-

ций называется профильной проекцией точки.

Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат:

х П1 П2 – ось абсцисс; y П1 П3 – ось ординат; z П2 П3 – ось аппликат.

Точка пересечения координатных осей принимается за начало отсчета и обозначается буквой О.

Координатные плоскости делят пространство на восемь частей – октантов. Порядок отсчета октантов совпадает с порядком отсчета четвертей. Октанты обозначаются римскими цифрами (см. рис. 1.12).

Преобразование пространственного чертежа в плоский происходит путем поворота плоскостей П1 и П3 вокруг соответствующих осей проекций до совмещения их с плоскостью П2, которая остается неподвижной. Направление вращения показано стрелками (см. рис. 1.12). Для оси y на комплексном чертеже задается два положения. Так как плоскости не имеют границ, в совмещенном чертеже (на эпюре) эти границы не показывают.

Построим ортогональные проекции точки А, расположенной в I октанте, на плоскости проекций (рис. 1.13, а). Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами А(x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций:

X A AП3 AxO ; YA AП2 Ax A1 ; ZA AП1 Ax A2 .

По координатам точки можно построить ее проекции, а по заданным проекциям определить ее координаты. Комплексный чертеж точки А, расположенной в I октанте, показан на рис. 1.13, б.

Рис. 1.13

Очевидно, что две любые проекции точки А определяют ее положение в пространстве. По двум любым заданным проекциям точки можно построить ее третью проекцию, пользуясь условиями связи между проекциями точки на комплексном чертеже:

1) горизонтальная и фронтальная проекции точки принадлежат одной вертикальной линии связи;

2 ЛИНИЯ

2.1Определение и задание линии на чертеже

Линию можно представить как траекторию непрерывно движущейся в пространстве точки. Подобное представление линии позволяет получить ее определение, базирующееся на таких основных понятиях геометрии, как точка и множество. В этом случае линию можно рассматривать как непрерывное множество всех принадлежащих этой траектории точек.

Если учесть, что положение точки при ее движении по заданной траектории будет зависеть от непрерывно меняющейся величины d расстояния от точки до начала координат, то можно утверждать, что положение точки, принадлежащей линии, определяется одной непрерывно меняющейся величиной. Тогда, приняв d за параметр, можно дать следующее определение: линия есть непрерывное однопараметрическое множество точек.

Существуют прямые, ломаные и кривые линии. Простейшей линией является прямая.

2.2Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямая есть такое множество точек, свойства которого определяются известной аксиомой прямой линии о том, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Для построения проекций прямой достаточно построить проекции двух ее точек (рис. 2.1, а).