Kalashnikova_Nacher_geom

лели n. Окружности m и n, пересекаясь, определяют горизонтальные проекции точки С1 и С1′. Фронтальные проекции этих точек находятся на фронтальном следе секущей плоскости Σ2.

Промежуточные точки определим с помощью плоскости Г, которая пересекает сферу по окружности т′, конус – по окружности n′. Пересекаясь, эти окружности дают пару точек D и D′, принадлежащих линии пересечения поверхностей. Найденные точки соединяем плавной кривой линией.

При построении линии пересечения двух конусов, конуса и цилиндра, двух цилиндров всегда можно подобрать плоскости, пересекающие обе поверхности по образующим.

Допустим, даны два конуса (рис. 10.26). Плоскость, пересекающая конус по образующим, обязательно проходит через его вершину. Плоскость, пересекающая оба конуса по образующим, должна проходить через обе вершины, т.е. через прямую линию а, соединяющую вершины этих конических поверхностей.

Рис. 10.26

Проводим через прямую а плоскость Σ, пересекающую левый конус по образующим (1-S) и (2-S), правый конус – по образующим (3-S′) и (4-S′). На пересечении этих образующих определяем точки А, В, С, D, принадлежащие линии пересечения данных поверхностей. Через прямую а можно провести еще несколько плоскостей – «пучок» плоскостей – и получить точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Соединив найденные точки, получим линию пересечения поверхностей.

Задача 10.8.2. Построить линию пересечения дух конусов

(рис. 10.27).

В качестве вспомогательных плоскостей используем плоскости, проходящие через прямую (SТ), соединяющую вершины конусов.

Рис. 10.27

Опорные точки 1 и 2 находятся в пересечении оснований конусов. Найдем опорную точку 3 – точку пересечения фронтальной очерковой образующей (ТА) левого конуса с поверхностью правого конуса. Вспомогательная плоскость Σ должна пересечь конус с вершиной Т по образующей (ТА), горизонтальный след плоскости Σ1 пройдет через горизонтальный след прямой (SТ), точку Н1 и точку A1. Конус с вершиной S плоскость Σ пересекает по образующей (SВ). Вторые образующие, по которым секущая плоскость пересекает каждый из конусов, для решения данной задачи не нужны и на чертеже не показаны. На пересечении образующих (ТА) и (SB) определяем точку 3. Опорную точку 4 – точку пересечения фронтальной очерковой образующей (SС) правого конуса с поверхностью левого конуса – находим с помощью плоскости Σ′. Промежуточную точку 5 находим с помощью плоскости Σ′′, которая пересекает конус с вершиной Т по образующим а и b, а конус с вершиной S - по образующим c и d. Пересекаясь, образующие дают точку 5. Соединив полученные точки, получим линию пересечения поверхностей.

10.9Построение линии пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих сфер

При построении линии пересечения некоторых поверхностей, а также при их особом взаимном расположении не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости. Например, если пересекаются поверхности вращения общего вида с пересекающимися осями, то никакие плоскости не могут рассекать одновременно эти поверхности по линиям, которые проецировались бы в графически простые линии. В таких случаях применяют способ вспомогательных секущих сфер.

Сферы обладают тем преимуществом по сравнению с другими по- верхностями-посредниками, что проекции сферы легко построить (на любую плоскость проекций сфера проецируется в виде окружности, радиус которой равен радиусу сферы) и на сфере можно получить множество окружностей. Это позволяет определить линию пересечения поверхностей с достаточной степенью точности.

В основу способа вспомогательных секущих сфер положена теорема.

Теорема: две соосные поверхности пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей (рис. 10.28).

Если точки А и В есть точки пересечения главных меридианов поверхностей m и ℓ, то при вращении их вокруг горизонтально проецирующей оси i образуются окружности – параллели, принадлежащие одновременно обеим поверхностям. Данные окружности проецируются на плоскость П2 в виде отрезков прямых, перпендикулярных к фронтальной проекции оси вращения, а на плоскость П1 – без искажения.

Следствие: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям (рис. 10.29).

Данное утверждение вытекает из теоремы, так как секущая сфера будет соосна с данной поверхностью вращения.

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1)способом концентрических сфер;

2)способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются, т.е. имеется общая плоскость симметрии. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость симметрии была параллельна одной из плоскостей проекций.

Задача 10.9.1. Построить линию пересечения двух конусов

(рис. 10.30).

Вначале находим опорные точки A, B, C, D. Точки А и В определяются как точки пересечения главных меридианов поверхностей. По фронтальным проекциям точек А2 и В2 определяем их горизонтальные проекции A1 и B1. Точки С и D, определяющие границы видимости, на горизонтальной проекции можно найти с помощью плоскости Σ, параллельной горизонтальной плоскости проекций П1. Она пересекает конус с горизонтальной осью по горизонтальным очерковым образующим, а конус с вертикальной осью – по окружности радиусом r. В пересечении горизонтальных проекций найденных линий находим точки C1 и D1. Затем определяются их фронтальные проекции С2 и D2.

Для дальнейшего решения задачи необходимо воспользоваться методом вспомогательных секущих концентрических сфер. Центр вспомогательных сфер определяется в точке пересечении осей конусов – точке О(О2).

Определим предел изменения радиуса секущих сфер. Для нахождения минимального радиуса секущей сферы проведем на фронтальной проекции перпендикуляры а2 и b2 к очерковым образующим поверхностей. Максимальный из этих перпендикуляров определяет минимальный радиус секущей сферы: Rmin = |O2N2|.

Рис. 10.30

Проводим сферу радиусом Rmin. Данная сфера имеет с вертикальным конусом одну общую окружность с, конус с горизонтальной осью она пересекает по окружности d. На плоскость П2 данные окружности проецируются в виде отрезков прямых. В пересечении окружностей с и d определяем пару точек Е и Е′.

Максимальный радиус секущей сферы равен расстоянию от центра сферы до наиболее удаленной точки на очерковой образующей, принадлежащей обеим поверхностям: Rmax = |O2В2|.

С помощью сферы промежуточного радиуса найдем точки F и F′. Соединив полученные точки, получим проекции линии пересече-

ния поверхностей.

Задача 10.9.2. Построить линию пересечения поверхности вращения произвольного вида с поверхностью прямого кругового цилиндра. Оси поверхностей пересекаются (рис. 10.31).

Рис. 10.31

Определяем центр вспомогательных сфер – точку пересечения осей поверхностей вращения: О2 = i2 i2′.

Находим проекции опорных точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей: A2, B2, C2, D2. Так как эти точки принадлежат плоскости главных меридианов поверхностей, которая параллельна плоскости П2, то эти точки определяются пересечением фронтальных проекций главных меридианов поверхностей.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от фронтальной проекции центра сферы точки О2 до наиболее удаленной точки, принадлежащей линии пересечения, – точки D2.

Величина минимального радиуса вспомогательной секущей сферы равна радиусу окружности, касающейся цилиндра Ф. На рис. 10.31 показано построение точек Е2, Е2′ и F2, F2′ с помощью вспомогательной секущей сферы Г.

Для определения промежуточных точек 12, 12′; 22, 22′; 32, 32′ про-

ведем секущие сферы радиусом Ri (Rmin < Ri < Rmax).

Горизонтальные проекции точек линии пересечения определяются при помощи параллелей поверхности , которые проецируются на плоскость П1 без искажения.

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство круговых сечений. Плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Задача 10.9.3. Построить линию пересечения поверхностей кольца (открытого тора) и усеченного конуса, имеющих общую плоскость симметрии (рис. 10.32).

В данной задаче применить способ концентрических сфер нельзя, так как оси поверхностей не пересекаются.

Возможность использования способа эксцентрических сфер обуславливается тем, что обе поверхности несут на себе семейства круговых сечений, по которым они могут пересекаться эксцен-

трическими сферами, причем на торе имеется два семейства круговых сечений. Одно из семейств принадлежит «пучку» плоскостей, ось которого совпадает с осью тора. Находим опорные точки А и В – точки пересечения главных меридианов поверхностей.

Промежуточные точки определяются следующим образом: рассечем тор фронтально проецирующей плоскостью Г, проходящей через ось тора. Эта плоскость пересечет тор по окружности, фронтальная проекция которой – отрезок [12-22]. Эта же окружность может быть получена при пересечении тора семейством эксцентрических сфер, центры которых расположены на перпендикуляре, проведенном через центр окружности к плоскости Г.

Для того чтобы вспомогательная сфера пересекла по окружности и поверхность конуса, необходимо, чтобы ее центр принадлежал оси конуса. Поэтому за центр вспомогательной секущей сферы следует брать точку O2 пересечения упомянутого перпендикуляра с осью конуса. В этом случае сфера, радиус которой равен расстоянию от точки О2 до точки 12 (или 22), пересекает обе поверхности по окружностям. Окружность m, по которой сфера пересекает поверхность конуса, является параллелью поверхности конуса. Эта параллель проецируется на плоскость П2 в отрезок [32-42]. Окружности (12-22) и (32-42) пересекаются в точках C2 и C2′ (C2 = C2′). Аналогично строятся и другие промежуточные точки.

10.10Особые случаи построения линии пересечения поверхностей

Порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей, поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривым четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые или две кривые второго порядка.

Случаи, когда кривая четвертого порядка распадается на четыре прямые, можно проследить на примерах пересечения поверхностей двух цилиндров второго порядка с параллельными осями, а также двух конических поверхностей второго порядка, имеющих общую вершину.

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами.

Теорема 1: если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой (рис. 10.33).

При пересечении поверхности сферы А с поверхностью эллиптического цилиндра В получаются две плоские кривые второго порядка ℓ и ℓ′.

На рис. 10.34 показано пересечение двух поверхностей второго порядка (двух цилиндров, один из которых – эллиптический). По-

Теорема 3 (теорема Монжа): если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Эта теорема, по существу является частным случаем теоремы 2. На рис. 10.35 показано построение линии пересечения двух кони-

ческих поверхностей и Λ, описанных вокруг сферы Г.

Поверхность сферы соприкасается с поверхностью по окружности, фронтальная проекция которой – отрезок [12-22], а с поверхностью Λ – по окружности, проецирующейся в отрезок [32-42]. Точки пересечения этих окружностей