Ответ: убывает на (-; 2),
возрастает на (2; +).
Пример 14.
Найти промежутки монотонности функции
.
Решение. О.О.Ф. – вся числовая прямая за исключением точки х = 0.
Находим
.
Точки х
= 0 (в ней производная не существует) не
принадлежит О.О.Ф. Поэтому на числовой
оси отмечаем ее «пустой» точкой.
Очевидно, что
при всехх
0
и
),
то есть данная функция убывает в
промежутках (-;
0) и (0; +).
Ответ: убывает в промежутках (-; 0) и (0; +).
Пример 17.
Найти промежутки возрастания (убывания)
функции
.
Решение.
Найдем О.О.Ф. Для этого необходимо решить
неравенство:
или
.
Уравнение
имеет корних1
= 0 и х2
= 1. Неравенство
справедливо прямоугольник всех значенияхх
в промежутке [0; 1]. Следовательно, функция
определена в промежутке [0; 1].
Найдем производную
функции
:
.
Критические точки:
х1
= 1/2, х2
= 0, х3
= 1 (В точке х
= 1/2 выполняется равенство
,
а в точкахх
= 0 и х
= 1
не существует) – принадлежат области
определения функции
и разбивает ее на два промежутка:
и
.
В промежутке (0;
1) выражение в знаменателе производной
,
поэтому знак производной определяется
знаком числителя 1 - 2х:
на
и
на
.
Следовательно,
функция
возрастает на промежутке
и убывает на промежутке
.
На промежутках
(-;
0) и (1; +)
функция
не определена.
Ответ: возрастает на промежутке ; убывает на промежутке . § 3. Исследование функции на экстремум.
3.1. Справочный материал.
Точка x=x0 из области определения функции f(x) называется точкой минимума (максимума) этой функции, если у этой точки существует окрестность такая, что для всех xx0 из этой окрестности выполняется неравенство
.Точки максимума
и минимума
функции
объединяются общим термином –точки
экстремума.Значения функции в точке экстремума называются соответственно максимумом
иминимумом
функции (илиэкстремумами
самой функции).Функция y=f(x), график которой расположен на рис.1, в точках x1 и x3 имеет минимумы
,
а в точкахx2
и
x4
– максимумы
.
Точкиa
и b
не считаются точками экстремума функции
f(x),
т.к. у этих точек нет окрестности,
целиком входящей в область определения
функции.Исследование функции на экстремум основано на следующих двух утверждениях:
а).
Необходимое условие экстремума.
Если точка x0
является точкой экстремума функции
y=f(x),
то производная в этой точке равна нулю:
.
б). Достаточные условие экстремума.
Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.
Если в окрестности точки x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.
3.2 Схема исследования функции на экстремум.
Найти О.О.Ф.
Найти
в О.О.Ф.Найти критические точки в О.О.Ф.:
а).в которых выполняется равенство
;б) в которых
не существует.Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.
Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.
На основании достаточных условий экстремума сделать заключение о экстремуме функции в каждой из указанных в п.3 критических точках.
Пример 16.
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение.
1). Функция определена при всех x R.
2).
.
3). Из уравнения
находимх
= -1;
существует при всехх.
Таким образом,
х
= -1 – единственная критическая точка.
4). Точка х = -1 разбивает числовую ось на два промежутка (-; -1) и (-1; +).
5). Интервалы
знакопостоянства производной
:
на (-;
-1), так как
;
на (-1; +),
так как
.
6). При переходе через точку х = -1 слева направо производная меняет знак с «+» на «-», значит х = -1 – точка максимума (хтах = -1)
В точке х = -1 имеем ymax = y(xmax) = y(-1) = 8+2-1=9.
Ответ: хтах = -1;
утах = 9.
Пример 17.
Найти точки экстремума функции
.
Решение.
Производная этой функции
определена во всех точках числовой оси
и обращается в нуль в точкех
= 3. В этой точке производная меняет знак
с «+» на «-». Пользуясь признаком
максимума, получаем, что точка х
= 3 является точкой максимума.
Ответ:. хтах = 3.
Пример 18.
Найти экстремум функции
.
Решение. О.О.Ф.: x R.
при х1
= 2, х2
= 3.
Ответ:
Пример 19.
Исследовать на экстремум функцию
.
Решение. О.О.Ф. найдем из решения системы:
.
Найдем производную:
.
в точке х
=1.
не существует в точкахх
= 0 и х
= 2.
Точки х = 0, х = 1, х = 2 не принадлежат О.О.Ф., следовательно, точек экстремума у этой функции нет.