- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •1. Интегральное исчисление функций одной независимой переменной
- •1.1. Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла (правила интегрирования)
- •4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций.
- •7. Интегрирование иррациональных функций.
- •1.2. Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла
- •Правила вычисления определенных интегралов
- •1.3. Приложение определенного интеграла
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •Вычисление длины дуги плоской кривой
- •2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •3. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения
- •3. Линейные уравнения первого порядка
- •4. Уравнение Бернулли
- •Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей
- •Контрольная работа №4. «Интегральное исчисление функции одной независимой переменной»
- •Контрольная работа №5. «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»
- •Контрольная работа №6. «Дифференциальные уравнения»
- •Список литературы
Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей
Таблица 3.1
№ |
Правая часть дифференциального уравнения |
Корни характеристического уравнения |
Виды частного решения |
1 |
1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения | ||
2. Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности | |||
2 |
1. Число не является корнем характеристического уравнения | ||
2. Число является корнем характеристического уравнения кратности | |||
3 |
1. Числа не являются корнями характеристического уравнения |
| |
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности |
| ||
4 |
|
1. Числа не являются корнями характеристического уравнения | |
2. Числа являются корнями характеристического уравнения кратности |
Здесь - многочлены от-й степени общего вида с неопределенными коэффициентами.
Пример 3.15. Найти общее решение уравнение .
Решение. Общее решение неоднородного линейного уравнения .Соответствующее однородное уравнение имеет вид: . Составим характеристическое уравнение. Его корни,. В силу формулы (3.16) . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде (см. таблицу 3.1). Находим производные и подставляем в заданное уравнение:
, ,
, .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:
,
откуда ,,.
Общее решение исходного уравнения будет .
Пример 3.15. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
.
Решение. Дифференцируя одно из уравнений системы по (например, первое уравнение) и исключая функцию, сведем уравнение системы к решению уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение, найдем функцию, а затем из первого уравнения найдем и функцию.
Итак
. |
(3.19) |
Из второго уравнения находим и подставим в уравнение (3.19):
; .
Наконец, найдем из первого уравнения систем:
, |
(3.20) |
.
После преобразования получаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
.
Решая характеристическое уравнение , получим, откуда
.
Функцию находим, подставляяив формулу (3.20), после преобразований получим
.
Контрольная работа №4. «Интегральное исчисление функции одной независимой переменной»
Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы
1.1. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.2. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.3. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.4. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.5. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.6. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.7. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.8. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.9. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.10. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.11. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.12. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.13. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.14. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.15. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.16. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.17. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.18. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.19. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.20. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.21. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.22. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.23. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.24. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.25. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.26. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.27. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.28. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.29. |
1. |
2. |
3. |
4. |
1.30. |
1. |
2. |
3. |
4. |
Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы
2.1. |
1. |
2. |
2.2. |
1. |
2. |
2.3. |
1. |
2. |
2.4. |
1. |
2. |
2.5. |
1. |
2. |
2.6. |
1. |
2. |
2.7. |
1. |
2. |
2.8. |
1. |
2. |
2.9. |
1. |
2. |
2.10. |
1. |
2. |
2.11. |
1. |
2. |
2.12. |
1. |
2. |
2.13. |
1. |
2. |
2.14. |
1. |
2. |
2.15. |
1. |
2. |
2.16. |
1. |
2. |
2.17. |
1. |
2. |
2.18. |
1. |
2. |
2.19. |
1. |
2. |
2.20. |
1. |
2. |
2.21. |
1. |
2. |
2.22. |
1. |
2. |
2.23. |
1. |
2. |
2.24. |
1. |
2. |
2.25. |
1. |
2. |
2.26. |
1. |
2. |
2.27. |
1. |
2. |
2.28. |
1. |
2. |
2.29. |
1. |
2. |
2.30. |
1. |
2. |
Задача 3. Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками функций
3.1. |
3.2. |
3.3. |
3.4. |
3.5. |
3.6. |
3.7. |
3.8. |
3.9. |
3.10. |
3.11. |
3.12. |
3.13. |
3.14. |
3.15. |
3.16. |
3.17. |
3.18. |
3.19. |
3.20. |
3.21. |
3.22. |
3.23. |
3.24. |
3.25. |
3.26. |
3.27. |
3.28. |
3.29. |
3.30. |
Задача 4. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (для 1-14 вариантов)
4.1. . |
4.2. . |
4.3. . |
4.4. . |
4.5. . |
4.6. . |
4.7. . |
4.8. . |
4.9. . |
3.10. ,. |
4.11. ,. |
4.12. . |
4.13. . |
4.14. . |
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах (для 15-30 вариантов)
4.15.,. |
4.16. ,. |
4.17.,. |
4.18. ,. |
4.19.,. |
4.20. ,. |
4.21.,. |
4.22. ,. |
4.23.,. |
4.24. ,. |
4.25. ,. |
4.26. ,. |
4.27. ,. |
4.28. ,. |
4.29. ,. |
4.30. ,. |