4. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

,

где (прииэто уравнение является линейным).

С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 3.7. Решить уравнение Бернулли

,

Решение. Умножим обе части уравнения на :

.

Сделаем замену , тогда. После подстановки последнее уравнение обратиться в линейное уравнение

,

общее решение которого

.

Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения

.

Замечание 3.2. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки .

Пример 3.8. Решить уравнение Бернулли

.

(3.10)

Решение. Ищем общее решение уравнения (3.10) в виде ,. Подставляя выражения дляив (3.10), получим

,

или

.

(3.11)

Функцию находим из условия

, ,

разделяем переменные

,

интегрируем:

.

, откуда . Возьмем, например, частное решение, подставляя его в (3.11), получаем уравнение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменным, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем:

; ,

следовательно, общее решение уравнения (4.10) будет

.

Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допускающие понижение порядка.

1. Уравнение вида . После-кратного интегрирования получается общее решение.

2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производной до порядка включительно:

(3.12)

Порядок такого уравнения можно понизить на единиц заменой. Тогда Уравнение (3.12) примет вид

Из последнего уравнения определяем , а затем находимиз уравнения-кратным интегрированием.

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

Подстановка позволяет понизить порядок уравнения на единицу. При этомрассматривается как новая функция от:. Все производныевыражаются через производные от новой неизвестной функциипо:

, и т.д.

Подставив эти выражения вместо в уравнение, получим дифференциальное уравнение-го порядка.

Пример 3.9. Найти общее решение уравнения .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем

,

,

.

Пример 3.10. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку,, тогда получим- уравнение с разделяющимися переменными.

, ,.

Делая обратную замену, получаем , откуда.

Пример 3.11. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Данное уравнение явно не содержит . Сделаем подстановку,, тогда получим

, .

Рассмотрим два случая:

1. ,,- особое решение.

2. ;;;

интегрируем обе части последнего уравнения, получаем

, ,.

Учитывая, что ,

, .

После интегрирования получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения:

.

Особое внимание следует уделить линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

(3.13)

где и- постоянные величины.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(3.14)

Уравнение вида

(3.15)

называется характеристическим уравнением для уравнения (3.14). Вид общего решения уравнения (3.14) зависит от корней характеристического уравнения. Обозначим эти корни через .

Если корни характеристического уравнения вещественные и , то общее решение уравнения (3.13) имеет вид

.

(3.16)

Если корни уравнения (3.15) вещественные и равные, то есть , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид

.

(3.17)

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3.14) имеет вид:

.

(3.18)

Пример 3.12. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Находим корни,. Применяя формулу (3.16), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.13. Найти общее решение уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Корни уравнения. Применяя формулу (3.17), запишем общее решение уравнения:

.

Пример 3.14. Найти общее решение уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение . Корни уравнения. В силу формулы (3.18) общее решение уравнения имеет вид:

.

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами (3.13).

Теорема 4.1. Общее решение неоднородного уравнения (3.13) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (3.14) и какого-либо частного решения неоднородного уравнения: .

В случае, когда правая часть уравнения (3.13) имеет вид

,

где и- многочлены степениисоответственно, частное решение неоднородного уравнения находится так называемымметодом подбора. Вид частного решения следует искать в одной из следующих форм.