3. Дифференциальные уравнения

Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида называетсяуравнением с разделенными переменными.

Уравнение вида

,

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Пример 3.1. Решить уравнение: .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

.

Интегрируя, находим

,

, или .

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь , то есть. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что- решение исходного уравнения. Однако оно не является особым, так как его можно получить из общего решения при.

Пример 3.2. Решить задачу Коши: ,.

Решение. Имеем

.

Разделяем переменные

.

Интегрируя, найдем общий интеграл

.

После потенцирования получим

, или ,

что является общим решением исходного уравнения.

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию . Для этого в общем решении полагаем,, тогда,, откуда. Искомое частное решение имеет вид:.

2. Однородные уравнения

Функция называетсяоднородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество.

.

В частности, функция называется однородной нулевого измерения, еслидля любых.

Дифференциальное уравнение вида называетсяоднородным относительно и, еслиесть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнении всегда можно представить в виде

.

(3.1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (3.1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

При решении однородных уравнений переходить к виду (3.1) необязательно. Можно сразу делать подстановку ,.

Пример 3.3. Решить уравнение: .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

, или .

Сделаем подстановку ,,:

, ,,

Разделяем переменные

,

Интегрируем

,

,

Пусть теперь . Непосредственной подстановкой убеждаемся, что- решение исходного уравнения. Оно является особым, так как его нельзя получить из общего решения ни при каком значении.

Пример 3.4. Решить уравнение: .

Решение. Сделаем подстановку ,,:

, ,,

Разделим переменные

,

отсюда интегрированием находим

, ,

делая обратную подстановку, в итоге получаем:

.

3. Линейные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

,

(3.2)

где и- заданные функции от, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (3.2).

Если, то уравнение (3.2) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (3.2) ищется в виде

,

где - новая неизвестная функция от.

Пример 3.5. Решить уравнение:

.

(3.3)

Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим однородное уравнение

,

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

(3.4)

где - неизвестная функция от.Подставляя (3.4) в (3.3), получаем

,

,

откуда

.

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

где - постоянная интегрирования.

Замечание 3.1. Может оказаться, что дифференциальное уравнения линейно относительно как функция от

.

Уравнение (3.2) может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем

,

(3.5)

где и- неизвестные функции от, одна из которых, например, может быть выбрана произвольно. Представляя (3.5) в (3.2), после преобразования получаем

.

(3.6)

Определяя из условия, найдем затем (3.6) функцию, а следовательно, и решениеуравнения (3.2). В качествеможно взять любое частное решение уравнения,.

Пример 3.6. Решить задачу Коши:

,	(3.7)
.	(3.8)

Решение. Ищем общее решение уравнения (3.7) в виде ,. Подставляя выражения дляив (3.7), будем иметь

,

или

.

(3.9)

Функцию находим из условия

, ,

разделяем переменные

,

интегрируем:

.

Вычислим интеграл , окончательно получаем

, откуда . Возьмем, например, частное решение, подставляя его в (4.9), получаем уравнение, из которого находим функцию;

,

следовательно общее решение уравнения (4.7) будет

, или .

Используя начальное условие (3.8), получаем для нахождения уравнение, откуда. Таким образом, решение задачи Коши будет:

.