4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называют дробь вида , где,- многочлены. Рациональная дробь называетсяправильной, если степень многочлена ниже степени многочлена; в противном случае дробь называютнеправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называют правильные дроби вида:

1. .

2. , где- целое число, большее единицы.

3. , где, то есть квадратный трехчленне имеет действительных корней.

4. , где- целое число, большее единицы, и квадратный трехчленне имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что - действительные числа.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.

1. .

2. .

3. Рассмотрим частный случай дроби 3 типа: .

, или , где,(здесь),, откуда

.

(1.2)

Пример 1.15. .

Решение. Имеем .

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби 3-го типа.

Требуется найти , где. Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

.

Тогда получим

.

В первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому

,

так как для любого значения. Второй интеграл находится по формуле (1.2).

Пример 1.16. .

Решение. Имеем

.

5. Интегрирование рациональных дробей с помощью представления в виде суммы простейших дробей. Перед интегрированием рациональной дроби нужно выполнить следующие действия.

1. Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, то есть представить в виде

,

где - многочлен,- правильная рациональная дробь.

2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

,

где , то есть квадратный трехчленне имеет действительных корней.

3. Правильную рациональную дробь представить как сумму простейших дробей:

.

4. Вычислить неопределенные коэффициенты для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степеняхв левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Это коэффициенты можно найти и другим способом, придавая в полученном тождестве переменнойпроизвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Пример 1.17. .

Решение. Так как каждый из двучленов ,,входит в знаменатель в первой степени, то данную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей 1-го типа:

.

Приравнивая числители первой и последней дробей, получим

.

(1.3)

Следовательно,

.

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

из которой найдем ,,.

Итак, разложение на простейшие дроби имеет вид

.

Неизвестные коэффициенты ,, С в разложении можно было определить иначе. Подставим в (1.3) столько частных значений, сколько неизвестных содержится в системе, в данном случае – три частных значения.

Особенно удобно придавать значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Воспользуемся этим приемом для решения данного примера.

Рассмотрим равенство (1.3). Положим в этом равенстве , тогда

,

откуда , то есть. Полагая, получаем, то есть; полагая, имеем, то есть. В результате получились те же значения, что и в первом способе определения неизвестных.

Таким образом,

.