2.3.2. Основные аксиомы и законы алгебры логики

Анализ и синтез булевых функций, проведение над ними различных операций основываются на ряде аксиом и законов (табл. 2.6).

Т а б л и ц а 2. 6

Аксиомы	1 + А= 1 0А= 0
	0 + А=А1А=А
	А+А=ААА=А
	А+= 1А= 0
	= А
Законы коммутативности	А+В=В+ААВ=ВА
Законы ассоциативности	А+В+С+ =А+ (В+С)АВС=А(ВС)
Законы дистрибутивности	А(В + С) = АВ + АС А + ВС = (А + В)(А + С)
Законы дуальности (теоремы де- Моргана)
Законы поглощения	А+АВ=АА(А+В) =А

Кратко прокомментируем сущность этих законов. Коммутативный закон утверждает, что результаты выполнения операций конъюнкции и дизъюнкции не зависят от порядка следования переменных.

Ассоциативный закон позволяет организовывать группы переменных и использовать их в качестве одной переменной.

Дистрибутивный закон (иначе распределительный) дает право раскрывать скобки при логическом умножении и создавать скобки при логическом сложении.

Особенно подчеркнем значимость законов дуальности, устанавливающих взаимную связь между операциями дизъюнкции и конъюнкции: 1) инверсия дизъюнкции равняется конъюнкции инверсий переменных; 2) инверсия конъюнкции переменных равняется сумме инверсий.

Подчеркнем, что правила де Моргана распространяются на произвольное число аргументов логической функции, а их применение позволяет при разработке цифровых устройств оптимизировать их схемотехническое решение.

2.3.3. Формы представления Булевых функций

Существуют и используются различные способы описания булевых функций. Основные из них следующие.

Словесное описание. Как правило, словесное описание является начальным этапом синтеза логического устройства. Например: логическое устройство должно выдавать на своем выходе единичное значение, если на его входе действует четное число единиц.

Представление функции Буля в виде таблицы истинности. Таблица истинности отражает связь между наборами аргументов булевой функции и значением выходной функции логического устройства. Пример такого соответствия иллюстрируется табл. 2.7, составленной для функций логического сложения и логического умножения.

Т а б л и ц а 2.7                           

А	В	F=А+В	F=АВ
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	1

2.3.3.1. Алгебраическое представление булевых функций

Здесь функция Буля представляется алгебраическим выражением, в общем случае достаточно сложным. Прямая реализация такого выражения потребовала бы применения большого количества цифровых элементов различного функционального назначения. Алгебраическое описание логической функции можно значительно упростить, если перейти к так называемым совершенным нормальным формам ее представления, в основе которых лежат понятия минтерма и макстерма булевой функции.

Минтермами булевой функции называются функции, представляющие собой произведение всех ее переменных, т. е. полные конъюнкции, причем каждая конъюнкция отличается от другой значением хотя бы одной переменной, входящей в ее состав.

Макстермами булевой функции называются функции, представляющие сумму всех ее переменных и отличающиеся друг от друга значением хотя бы одной переменной. Для функции от n переменных число минтермов и макстермов одинаково и равно С = 2ⁿ.

Обозначаются минтермы и макстермы соответственно буквами m_i и M_i, где i – десятичное число, соответствующее двоичному числу, в котором каждому разряду присваивается значение переменной булевой функции (табл. 2.8 для функции двух переменных).