§ 8.2. Плоскости в аффинном пространстве

Пусть в аффинном пространстве зафиксирована система координат, заданы точка и система линейно независимых векторов. Тогда множество точек аффинного пространства, радиусы-векторыкоторых удовлетворяют уравнению

, (8.2.1)

где ипринимают любые значения из поля, называется-мерной плоскостью или, короче, -плоскостью, проходящей через точку параллельнонаправляющему подпространству . Соотношение (8.2.1) называется параметрическим уравнением плоскости в векторной форме.

Прямые можно рассматривать как одномерные плоскости; -мерные плоскости аффинного пространстваназываютсягиперплоскостями (плоскостями).

Две плоскости, имеющие одну общую точку и одно и то же направляющее подпространство, совпадают. Параллельные плоскости не имеют общих точек, но их направляющие подпространства совпадают.

Пусть в выбранной системе координат ,,. Тогда векторное уравнение (8.2.1) равносильнокоординатным уравнениям

(8.2.2)

которые называются параметрическими уравнениями плоскости в координатной форме.

Если в аффинном пространстве заданы точки,,и векторы, линейно независимы, то через эти точки можно провести единственную-плоскость с координатными уравнениями

(8.2.3)

Вектор , ортогональный ко всемнаправляющим векторам плоскости, заданной в виде (8.2.1), называетсявектором нормали этой плоскости. Умножая скалярно обе части равенства (8.2.1) на вектор нормали , получаем с учетом обозначенияуравнение

, (8.2.4)

которое называется векторным уравнением плоскости, проходящей через точку с радиусом-векторомперпендикулярно вектору . В случае прямоугольной системы координатвместо векторного можно записать следующеекоординатное уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

, (8.2.5)

которое еще называется общим уравнением плоскости.

Гиперплоскость, проходящая через точку параллельно подпространству, порожденному линейно независимыми векторами,,...,, задается уравнением

. (8.2.6)

Гиперплоскость, проходящая через точек, , …,, определяющих систему линейно независимых векторов , задается уравнением

. (8.2.7)

Необходимым и достаточным условием того, что точкааффинного пространствалежит на одной гиперплоскости, является линейная зависимость векторов.

Угол между двумя плоскостями с векторами нормалей иопределяется как угол между двумя векторами,, не превышающий, и вычисляется по формуле

. (8.2.8)

Расстояние от точки с радиусом-векторомдо плоскости, заданной уравнением (8.2.4), определяется как минимальное расстояние от точки до точек плоскости и вычисляется по формуле

. (8.2.9)

Расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на плоскость.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями с уравнениями равно расстоянию от некоторой точки, лежащей на второй плоскости, до первой плоскости и вычисляется по формуле

. (8.2.10)

Пример 1. Составьте общее уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от точкина расстояние.

Решение. В силу того, что векторы нормалей у параллельных плоскостей коллинеарны, можно записать общее уравнение искомой плоскости: . Для нахождениявоспользуемся соотношением (8.2.9), в котором. Получим:

,

откуда илибо. Следовательно, существуют две плоскости с общими уравнениямии, удовлетворяющими условию данной задачи.

Пример 2. Составьте параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости.

Решение. Считая систему координат ортогональной, найдем направляющие векторы искомой плоскости из условия, где. Пусть.Тогда . Отсюда . Выбирая последовательно для, а для, получаем, что позволяет записать на основании равенств (8.2.2) следующее параметрическое уравнение искомой плоскости:

Пример 3. Вычислите расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки.

Решение. Считая, что координаты всех точек заданы в прямоугольной системе координат, запишем общее уравнение плоскости , для чего воспользуемся соотношением (8.2.7):

Искомое расстояние вычислим по формуле (8.2.9), в которой ,и. Получим:

.

Пример 4. Найдите параметрическое уравнение плоскости, заданной системой линейных алгебраических уравнений:

Решение. Запишем систему уравнений в матричном виде и найдем ее общее решение методом Гаусса.

.

Выберем в качестве свободных переменных переменные и. Тогда

,

и

.

Представляя общее решение неоднородной системы в виде суммы частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы, получаем разложение

представляющее искомое параметрическое уравнение плоскости , в котором,и.

Таким образом, множество решений неоднородной системы линейных уравнений можно рассматривать как -плоскость в аффинном пространстве.

В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

8.2.1. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

8.2.2. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и.

8.2.3. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно вектору.

8.2.4. Составьте общее уравнение плоскости, проходящей через три точки ,,.

8.2.5. Составьте параметрическое уравнение плоскости:

а) проходящей через точку параллельно векто-рам и;

б) проходящей через точки ,па-           раллельно вектору;

в) заданной общим уравнением .

8.2.6. Определите взаимное расположение плоскостей:

а)

б)

в) .

8.2.7. Найдите координаты точек пересечения плоскости

с осями координат.

8.2.8. Напишите общее уравнение плоскости

8.2.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям и.

8.2.10. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости.

8.2.11. Составьте уравнения плоскостей, проходящих через точку параллельно координатным плоскостям.

8.2.12. Напишите параметрическое уравнение плоскости .

8.2.13. Найдите параметрическое уравнение плоскости, заданной системой линейных алгебраических уравнений:

8.2.14. В аффинном пространстве дана плоскость, где. Установите, принадлежат ли этой плоскости векторыи.

8.2.15. При каких плоскостии:

а) пересекаются;

б) параллельны;

в) совпадают?

8.2.16. Найдите расстояние от точки до плоскости:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

8.2.17. Найдите расстояние между параллельными плоскостями:

8.2.18. а) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние 3.

б) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от нее на расстояние 3.

в) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости

и отстоящих от точки на расстояние 3.

г) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от начала координат на расстояние 3.

8.2.19. Найдите угол между плоскостями: