Глава 8 элементы аналитической геометрии

§ 8.1. Прямые в аффинном пространстве

Пусть дано множество элементов, называемых точками, и линейное пространствонад полемс элементами, называемыми векторами. Пусть далее каждой упорядоченной паре точекиизпоставлен в соответствие единственный векториз линейного пространствапричем для этого соответствия выполняются следующие две аксиомы:

для любой точки изи любого вектораизсуществует вединственная точкатакая, что;

для любых точек извыполняется “правило треугольника”

.

Множество вместе с таким соответствием называетсяаффинным пространством, связанным с линейным пространством Если линейное пространство-мерное, то и аффинное пространствоназывается-мерным аффинным пространством и обозначается через.

Системой координат или репером в аффинном пространстве называется упорядоченный набор

, (8.1.1)

состоящий из некоторой точки из, называемойначалом координат, и некоторого базиса линейного пространстваСистема координат называетсяпрямоугольной, если базис ортонормированный.

Координатами точки в системе координат (8.1.1) называются координаты ее радиуса-векторав базисе, т.е. коэффициенты из разложения

.

Точку с координатамибудем обозначать через, а векторс координатами– соответственно через .

Если в аффинном пространстве даны координатами в системе (8.1.1) две точкии , то, т.е. координаты вектораравны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.

Пусть в аффинном пространстве зафиксирована система координат (8.1.1), заданы точкаи направляющий вектор. Тогда множество точек аффинного пространства, радиусы-векторыкоторых удовлетворяют уравнению

, (8.1.2)

где и параметрпринимает любые значения из поляназываетсяпрямой, проходящей через точку параллельно вектору. Соотношение (8.1.2) называетсяпараметрическим уравнением прямой в векторной форме.

Векторное уравнение (8.1.2) равносильно координатным уравнениям

(8.1.3)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в координатной форме.

Исключая параметр в уравнениях (8.1.3), получаемканоническое уравнение прямой в аффинном пространстве :

. (8.1.4)

Если на прямой известны две различные точки и, то уравнение этой прямой в векторной форме

(8.1.5)

и в канонической форме

. (8.1.6)

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами иопределяется как угол между векторами, не превышающий, и вычисляется по формуле

. (8.1.7)

Необходимым и достаточным условием того, чтобы две прямые в аффинном пространстве , заданные векторными уравнениямии, пересекались или были параллельны, является линейная зависимость тройки векторов. В случае скрещивающихся прямых векторылинейно независимы. Направляющие векторы параллельных прямых коллинеарны, т.е..

Расстояние от точки с радиусом-векторомдо прямой, заданной уравнением (8.1.2), определяется как минимальное расстояние от точки до точек прямой и вычисляется по формуле

. (8.1.8)

Основание перпендикуляра, опущенного из данной точкина прямую, совпадает с той точкой прямой, которая находится на минимальном расстоянии от данной точки.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми с уравнениями иопределяется как кратчайшее расстояние между точками этих прямых и вычисляется по формуле

. (8.1.9)

Основания общего перпендикуляра двух прямых совпадают с теми точками этих прямых, расстояние между которыми минимально.

Пример 1. Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямыеи. Укажите метод построения такой прямой и точек пересечения ее с данными прямыми.

Решение. Пусть – уравнение искомой прямой. Тогда необходимые и достаточные условия для того, чтобы прямаяпересекала прямыеи, состоят в том, что системы векторовилинейно независимы, векторлинейно выражается черези векторлинейно выражается через. Формально это означает, что существуют действительные значениятакие, что

(8.1.10)

, (8.1.11)

причем и. Выразивиз соотношений (8.1.10), (8.1.11), получим соответственно формулы

(8.1.12)

(8.1.13)

Вычитая равенство (8.1.13) из (8.1.12), приходим к нулевой линейной комбинации системы векторов :

,

в которой коэффициенты иотличны от нуля, что говорит о линейной зависимости указанной четверки векторов.

Подставив формулу (8.1.13) в (8.1.10), а формулу (8.1.12) в (8.1.11), получим две системы линейных алгебраических урав-нений:

(8.1.14)

(8.1.15)

относительно переменных исоответственно, которые будут иметь единственное решение в случае линейной независимости троек векторови.

Таким образом, для того чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести единственную прямую, пересекающую две прямыеи, необходимо и достаточно, чтобы четверка векторовбыла линейно зависима, а каждая из двух троекиоказалась линейно независима.

Полагая, например, , находим путем решения системы (8.1.14) значенияи вычисляем по формулам (8.1.10), (8.1.11) точки пересечения, а по формуле (8.1.13) – направляющий вектор искомой прямой.

Пример 2. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямыеи, и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если.

Решение. Поскольку

условия, необходимые и достаточные для того, чтобы через точку, заданную вектором , можно было провести прямую, пересекающую две прямыеи, выполнены. Составим и решим систему (8.1.14):

т.е. ,,. Положим. Тогда. Следовательно, координаты направляющего вектора искомой прямой

координаты точек пересечения

Проверка:

Пример 3. Составьте уравнение прямых, проходящих через точку и образующих с прямойуглы в.

Решение. Выберем две точки ина прямой. Пусть,. Тогда направляющий вектор прямой. Пусть– направляющий вектор искомой прямой. Тогда в соответствии с соотношением (8.1.7)

.

Считая систему координат прямоугольной, имеем:

или

или

Следовательно, либо. Полагая, получаем два направляющих вектора,, что позволяет записать два канонических уравненияи.

В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.

8.1.1. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

а) и

б) и

в) и

8.1.2. Составьте канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точку:

а) параллельно прямой

б) параллельно вектору

в) параллельно прямой

г) параллельно ее радиусу-вектору.

8.1.3. Даны две прямые. Установите, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются, найдите координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями:

а) и

б) и

8.1.4. При каких прямыеи

а) пересекаются;

б) скрещиваются;

в) параллельны;

г) совпадают?

8.1.5. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:

а) и

б) и

в) и.

8.1.6. Найдите прямую, проходящую через точку, заданную вектором и пересекающую прямыеи, и найдите точки пересечения искомой прямой с двумя данными прямыми, если.

8.1.7. Найдите точку пересечения двух прямых и

а)

б) .

8.1.8. На прямой найдите точку, сумма расстояний от которой до точекиминимальна.

8.1.9. На прямой найдите точку, равноудаленную от точеки.

8.1.10. Точка лежит на прямой

,

причем равноудалена от точеки. Найдите координаты точки.

8.1.11. Составьте уравнение прямой, пересекающей две прямые

и

и параллельной прямой

.

8.1.12. Найдите угол между прямыми:

а) и;

б) и.

8.1.13. Даны точка и прямая. Вычислите расстояние от точкидо прямой; найдите координаты проекции точкинаи координаты точки, симметричнойотносительно; составьте уравнение прямой, проходящей через точкуи пересекающей данную прямую под прямым углом (“опустите перпендикуляр” из точкина). Прямаязадана уравнениями:

а)

б) .

8.1.14. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

.

8.1.15. На прямой найдите точку, ближайшую к точке.

8.1.16. Найдите расстояние между прямыми:

а) и

б) и.

8.1.17. Даны прямые и. Составьте уравнения их общего перпендикуляра (т.е. прямой, пересекающейипод прямым углом); найдите точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми; вычислите расстояние междуи. Прямые заданы уравнениями:

а) и;

б) и.

8.1.18. Убедитесь, что прямые

,

параллельны, вычислите расстояние между ними.

8.1.19. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми

и .