Высшая_математика_Том1

ЗАМЕЧАНИЕ 5.2.2. Сравнивая определение предела функции из п 5.2.1 и понятия односторонних пределов, приходим к следующему утверждению:

функция f (x) имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке она имеет равные левый и правый пределы.

В рассмотренном примере 5.2.6.1 f (x) не имеет предела в точке x = 0 (левый и правый пределы не совпадают); в примере 5.2.6.2 f (x) имеет предел в точке x = 0.

§ 5.3. Непрерывные функции

5.3.1. Определение и примеры

Интуитивное представление о непрерывной функции связано с таким процессом измерения, в котором измеряемая переменная величина мысленно определена для всех значений аргумента и может быть измерена со сколь угодно хорошей точностью. Принято считать, что такими свойствами обладают временные и пространственные протяженности. Задачи измерения переменной величины составляют суть теории предела и обсуждались в § 0.3. Отвлечемся от физического содержания переменной величины и обратимся к числовым функциям, представляющим эти величины. Тогда интуитивное понятие непрерывности принимает строгое определение.

Определение 5.3.1. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если выполнены следующие условия:

1)f (x) определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности;

2)существует предел lim f (x);

x→x0

3) этот предел равен значению функции в точке x0

lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Функция f (x) называется непрерывной на множестве E числовой оси R, если f (x) непрерывна в каждой точке x E .

191

ПРИМЕР 5.3.1.

1) f (x) = x sin 1 (см. пример 5.2.1 из п 5.2.1). Эта функция определена в x

некоторой окрестности точки x = 0, но не определена в самой точке x = 0. Поэтому, несмотря на то, что существует предел f (x) → 0 при x → 0, эта функция не является непрерывной в точке x = 0, так как нельзя сказать,

Эта функция определена в точке x = 0 (y(0) = 1), и в ее окрестности, имеет предел при x → 0 и этот предел равен значению функции в точке

x = 0: sin x → 1 = y(0), при x → 0, см. 5.2.4 — первый замечательный предел. x

5.3.2. Операции над непрерывными функциями

Определяющим свойством непрерывной функции является то, что она имеет пределом свое значение во всех точках определения. Поэтому непрерывные функции сохраняют все свойства предела числовой функции. Перечислим эти свойства.

Арифметические операции над непрерывными функциями (сложение, вычитание, умножение и деление, если делитель не обращается в ноль) дают снова непрерывные функции в области их определения.

Композиция двух и более непрерывных функций в области своего определения снова является непрерывной функцией.

3) ψ(x) = f (x) + ϕ(x) = ln sin x + ln tg x определена и непрерывна при x

(2πk, 2πk + π/2), k = 0, 1, 2, . . .

5.3.3.Свойства функции, непрерывной на замкнутом промежутке

Функция f (x), непрерывная на открытом интервале (a, b), называется

непрерывной на замкнутом интервале [a, b], если существует правый предел в точке a, равный f (a) и левый предел в точке b, равный f (b):

192

Например, функция y = sin 1 определена и непрерывна на (0, 1]; в точке

x

x = 0 она не определена и при x → 0 предела не имеет.

Функции, непрерывные на замкнутом промежутке обладают следующими фундаментальными свойствами:

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она ограничена на этом промежутке.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она принимает на этом промежутке свои наибольшее M и наименьшее m значения, т. е. существуют x1 и x2 [a, b] такие, что

m = f (x1 ) 6 f (x) 6 f (x2 ) = M

для всех x [a, b].

Теорема о промежуточных эначениях. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она принимает все значения между своими наименьшим m и наибольшим M значениями, т. е. для любого числа A, m < A < M, существует точка x0 (a, b) такая, что f (x0 ) = A.

Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке и принимает на концах этого промежутка значения разных знаков (т. е. f (a) f (b) < 0), то внутри этого промежутка существует хотя бы одна точка x0 , такая, что f (x0 ) = 0.

193

Теорема 5.3.1. (об обратной функции). Пусть f : [a, b] → [c, d] — взаимно однозначное и непрерывное отображение интервала [a, b] на [c, d]. Тогда обратное отображение также непрерывно.

ЗАМЕЧАНИЕ 5.3.1. Если числовая функция одного переменного только возрастает (или только убывает) в области своего определения, то она может и не быть взаимно однозначной, как, например, f (x) = tg x, x =6 π/2 + πk, k = ±1, ±2, . . . Обратно, если функция взаимно однозначно отображает от-

резок, она не обязательно монотонна, например функция на рис. 5.7:

y =

x, при x [0, 1)

3 −x, при x [1, 2].

194

5.3.5. Непрерывность элементарных функций

Всякая элементарная функция согласно своему определению (см. п 0.6.4) есть результат конечного числа арифметических операций, операций взятия обратной функции и операций композиции над основными элементарными функциями y = ax + b, y = sin x и loga x. Эти основные элементарные функции являются непрерывными в своих областях определения (см. упражнения ниже). Поэтому согласно свойствам непрерывных функций непрерывной будет любая элементарная функция в области своего определения.

УПРАЖНЕНИЕ 5.3.1. Доказать непрерывность основных элементарных функций: ax + b, sin x, loga x.

Указание: преобразовать разности f (x + h) − f (x) этих функций и показать, что при h → 0 будет выполняться свойство |f (x + h) − f (x)| → 0. Затем воспользоваться эквивалентностью определения непрерывности f (x) в точке x0 и импликации

x → x0 = f (x) → f (x0 ).

5.3.6. Сравнение бесконечно малых функций

Стремление бесконечно малой функции к нулю может происходить с различными скоростями как относительно аргумента, так и относительно других бесконечно малых функций. Приведем соответствующие определения.

Классификация бесконечно малых функций

Пусть α(x) и β(x) — бесконечно малые функции при x → x0 . Тогда будем говорить, что:

1) α и β — бесконечно малые одного порядка малости при x → x0 , если

α(x)

β(x) = const =6 0

(обозначается α = O(β), читается α есть O-большое от β);

2) α и β — эквивалентные бесконечно малые при x → x0 , если

α(x) = 1 β(x)

(в этом случае будем писать α(x) β(x) при x → x0 , читается α эквивалентно β);

3) α(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x), если

lim α(x) = 0,

x→x0 β(x)

195

(обозначается α = o(β), читается α есть o-малое от β);

4) α является бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой β при x → x0 , если

→

1

ЗАМЕЧАНИЕ 5.3.2. Учитывая, что γ(x) = α(x) есть бесконечно большая

функция, если α — бесконечно малая функция, можно сформулировать аналогичную классификацию сравнения бесконечно больших функций.

Особую роль при нахождении пределов имеют эквивалентные бесконечно малые. Они же являются источником получения приближенных формул, встречающихся в физике, механике и т.п. Например, из первого замечательного предела следует, что при x → 0 sin x x и поэтому в уравнение колебания длинного маятника входит угол α, а не sin α, как следует из вывода этого уравнения.

Рассмотрим свойства эквивалентных бесконечно малых. Пусть далее всюду до конца данного параграфа α, β, γ — бесконечно малые при x → x0 .

α(x)

lim 1/ β(x) = 1.

Применительно к нахождению пределов это свойство означает, что если нам известно, что lim ln(1 + x = 1, то без каких-либо обоснований можем

3) Если α1 α2 , то γ = α1 −α2 является бесконечно малой более высокого порядка, чем каждая из данных бесконечно малых α1 и α2 , т.е.

Предлагаем убедиться в этом самостоятельно. Смысл этого свойства рассмотрим на примере:

ПРИМЕР 5.3.3. Найти предел lim sin x −tg x .

x→0 x3

196

Выше было показано, что sin x x и tg x x и если в числителе заменить синус и тангенс на эквивалентные величины, то получим в ответе нуль. Но это неверно именно по свойству 3). По свойствам 1) и 2) при x → 0 синус и тангенс эквивалентны. И, значит их разность будет бесконечно малой более высокого порядка, чем первый. Но какого? Рассмотрим верное решение

4) Предел отношения бесконечно малых не изменится, если заменить эти бесконечно малые эквивалентными, т.е., если α α и β β при x → x0 , то

Последнее свойство эффективно при разрешении неопределенностей вида ( 00 ), если мы будем иметь достаточно большую таблицу основных эквивалентностей: при α → 0

1)sin α α;

2)arcsin α α;

3)tg α α;

4)1 −cos α α2 /2;

5)ln(1 + α) α;

6)loga(1 + α) α/ ln a;

7)eα −1 α;

8)aα −1 α ln a;

9)(1 + α)m −1 αm.

Первые четыре эквивалентности — это первый замечательный предел и следствия из него. Пятая эквивалентность получена выше, как следствие из второго замечательного предела. Формулу 7) можно получить так:

Восьмая эквивалентность получается из седьмой с использованием основного логарифмического тождества: aα −1 = eα ln a −1 α ln a.

Несколько сложнее доказывается последняя, девятая эквивалентность. Обозначим (1 + α)m −1 = β. Ясно, что β → 0 при x → x0 . Отсюда m ln(1 + α) = ln(1 + β). Следовательно,

197

пятую неопределенность, прибавим и отнимем к тангенсу единицу: ln tg x = ln(1 + (tg x −1) tg x −1, т.к. tg x −1 → 0 при x → π/4. Значит,

198

Здесь у нас неопределенность вида (1∞). Воспользуемся основным логариф-

Ниже мы рассмотрим еще один способ нахождения пределов — правило Лопиталя, которое использует производные.

5.3.7. Три типа разрыва непрерывности функций

Будем говорить, что функция f (x) имеет разрыв в точке x0 , если в этой точке f (x) не является непрерывной. Различают следующие типы разрывов:

1. Устранимый разрыв в точке x0 определяется как ситуация, в которой f (x) определена в окрестности точки x0 и имеет предел

lim f (x) = A

x→x0

но при этом либо f не определена в точке x0 , либо f (x0 ) определена, но f (x0 ) =6 A. В первом случае функцию f (x) доопределяют в точке x0 значением A, а во втором случае ее переопределяют, полагая за новое в точке x0 значение A. После чего функция становится непрерывной.

и y(x) станет непрерывной в точке x = 0 (см. первый замечательный предел).

Аналогичной является функция y = x sin 1 , (см. пример 5.2.1, п 5.2.1). x

199

Здесь также существует lim x sin 1 = 0, поэтому доопределенная функ-

также становится непрерывной.

2. Разрыв первого рода (скачок) в точке x0 определяется как несовпадение

Рис. 5.8

3. Разрыв второго рода в точке x0 определяется отсутствием (не существованием) хотя бы одного из односторонних пределов. Это равносильно тому, что хотя бы один из пределов либо не существует, либо бесконечен:

как угодно малой окрестности точки x = 0 справа будут существовать значения функции, равные 0 и 1, что противоречит существованию предела. Аналогично проверяется несуществование предела слева в точке x = 0.

1

УПРАЖНЕНИЕ 5.3.2. Показать, что функция y = a 1 −x , (a > 1) имеет

200