Высшая_математика_Том2
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Том II
Учебное пособие для студентов нематематических специальностей высших учебных заведений
Новосибирск
2006
УДК 51 (075.8) В 937
Рецензенты: В. Г. Чередниченко, д-р физ.-мат. наук, проф. СибУКП.
А. Г. Пинус, д-р физ.-мат. наук, проф.
Работа подготовлена на кафедре высшей математики для студентов-заочников I курса всех факультетов
Высшая математика
В937 Учеб. пособие/ В. М. Бородихин, М. Ю. Васильчик, Н. В. Вахрушев, В. А. Селезнев, В. В. Хаблов. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. — Т.2 — 177 с.
ISBN 5-7782-0422-1
Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов I курса очного и заочного отделений всех направлений и специальностей, изучающих высшую математику в объеме первого курса. При его написании были использованы методические разработки и другие материалы, ранее изданные кафедрами высшей и инженерной математики НГТУ. Эти материалы включены в текст пособия без ссылок, за что мы приносим свои извинения. Все замечания по содержанию данной работы просим передавать на кафедру высшей математики. Они будут с благодарностью приняты и учтены в следующих изданиях.
Во втором издании переработаны задания контрольных работ и исправлены замеченные опечатки
УДК 51(075.8)
ISBN 6-7782-0422-1 |
c |
Новосибирский государственный |
|
|
технический университет, 2006 |
|
c |
В. М. Бородихин, М. Ю. Васильчик, |
|
|
Н. В. Вахрушев, В. А. Селезнев, |
|
|
В. В. Хаблов, 2006 |
Оглавление
Глава 1. Неопределенный интеграл |
7 |
|
§ 1.1. |
Определение неопределенного |
|
|
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
§ 1.2. |
Свойства неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
§ 1.3. |
Таблица основных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
§ 1.4. |
Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
1.4.1. Непосредственное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
|
1.4.2. Метод подстановки (замена переменной |
|
|
|
в неопределенном интеграле) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
1.4.3. Метод интегрирования по частям . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
|
§ 1.5. |
Интегрирование рациональных |
|
|
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
17 |
§ 1.6. |
Интегрирование простейших |
|
|
иррациональностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
§ 1.7. |
Интеграл вида R(sin x, cos x) dx, |
|
|
где R — рациональная функция |
|
|
двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
Глава 2. Определенный интеграл |
32 |
|
§ 2.1. |
Основные свойства определенных |
|
|
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
36 |
§ 2.2. |
Интеграл с переменным верхним |
|
|
пределом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
§ 2.3. |
Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
§ 2.4. |
Геометрические и физические |
|
|
приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . |
49 |
2.4.1. Вычисление площади плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
|
2.4.2. Вычисление длины кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
|
2.4.3. Вычисление объема тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . |
62 |
|
2.4.4. Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
|
2.4.5. Работа переменной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
65 |
|
§ 2.5. |
Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
2.5.1. Несобственные интегралы с бесконечными |
|
|
|
пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
3
2.5.2. Несобственные интегралы |
|
|
|
от неограниченных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
§ 2.6. |
Приближенные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . |
80 |
2.6.1. Метод трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
81 |
|
2.6.2. Метод парабол (метод Симпсона) . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
|
Глава 3. Дифференциальное исчисление |
|
|
функций нескольких переменных |
87 |
|
§ 3.1. |
Вспомогательный раздел. |
|
|
Вектор-функция скалярного аргумента . . . . . . . . . . . . . |
87 |
3.1.1. Первые понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87 |
|
3.1.2. Пределы и производные. Свойства . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
|
3.1.3. Касательная к кривой. |
|
|
|
Геометрический смысл |
|
|
производной вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
90 |
§ 3.2. |
Функции нескольких переменных |
|
|
и их области определения. |
|
|
Множества на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . |
92 |
3.2.1. Область определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
3.2.2. Окрестности. |
|
|
|
Области на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . |
93 |
3.2.3. График функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . |
94 |
|
§ 3.3. |
Предел и непрерывность |
|
|
функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
3.3.1. Определения бесконечно малой функции |
|
|
|
и предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
3.3.2. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
|
§ 3.4. |
Приращения независимых переменных |
|
|
и функции. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
3.4.1. Приращения независимых переменных |
|
|
|
и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
98 |
3.4.2. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
99 |
|
3.4.3. Геометрический смысл частных |
|
|
|
производных функций двух переменных . . . . . . . . . . . . |
100 |
§ 3.5. |
Дифференцируемость функции |
|
|
двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
100 |
3.5.1. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . |
100 |
|
3.5.2. Приближенные вычисления значений |
|
|
|
функции с помощью дифференциала . . . . . . . . . . . . . . |
103 |
3.5.3. Выражение дифференциала функции через |
|
|
|
дифференциалы координатных функций . . . . . . . . . . . . |
105 |
3.5.4. Дифференцируемость, |
|
|
|
касательная плоскость и нормаль |
|
|
к графику функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . |
105 |
3.5.5. Геометрический смысл дифференциала |
|
|
|
функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
107 |
4
§ 3.6. |
Дифференцируемость сложных |
|
|
и неявных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
107 |
3.6.1. Дифференцируемость и производные |
|
|
|
сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
107 |
3.6.2. Производные неявных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . |
109 |
|
§ 3.7. |
Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
111 |
3.7.1. |
Определение производной по направлению . . . . . . . . . . |
111 |
3.7.2.Производная по направлению. Градиент функции.
|
Геометрический смысл градиента . . . . . . . . . . . . . . . . |
113 |
§ 3.8. |
Линии и поверхности уровня. |
|
|
Уравнения касательной и нормали . . . . . . . . . . . . . . . . |
114 |
3.8.1. Линии и поверхности уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
114 |
|
3.8.2. Уравнения касательных и нормалей . . . . . . . . . . . . . . . |
115 |
|
§ 3.9. |
Частные производные |
|
|
и дифференциалы высших порядков. |
|
|
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
116 |
3.9.1. Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . . |
116 |
|
3.9.2. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . |
117 |
|
3.9.3. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
118 |
|
§ 3.10. |
Отображения R2 в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
119 |
3.10.1.Параметрическое задание поверхностей . . . . . . . . . . . . |
119 |
|
3.10.2.Криволинейные координаты |
|
|
|
и замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
121 |
§ 3.11. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
3.11.1.Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
3.11.2.Необходимое условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . |
123 |
|
3.11.3.Достаточное условие экстремума |
|
|
|
функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
124 |
§ 3.12. |
Условные экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
§ 3.13. Наибольшее и наименьшее значения |
|
|
|
функции в замкнутой области . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
130 |
3.13.1.Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
130 |
|
3.13.2.Алгоритм решения задачи |
|
|
|
нахождения наименьшего и наибольшего |
|
|
значений функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
131 |
§ 3.14. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
132 |
|
3.14.1.Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
132 |
|
3.14.2.Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
133 |
|
Глава 4. Кратные интегралы |
135 |
|
§ 4.1. |
Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . |
136 |
§ 4.2. |
Геометрический смысл |
|
|
двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
138 |
§ 4.3. |
Свойства двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
139 |
§ 4.4. |
Вычисление двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . |
141 |
5
§ 4.5. |
Замена переменных |
|
|
в двойном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
148 |
§ 4.6. |
Применения двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . |
154 |
4.6.1. |
Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . |
154 |
4.6.2. |
Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
156 |
4.6.3. |
Вычисление площади поверхности . . . . . . . . . . . . . . . |
156 |
4.6.4. |
Приложения двойного интеграла в механике . . . . . . . . . . |
159 |
§ 4.7. |
Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
163 |
4.7.1. Определение тройного интеграла, |
|
|
|
его свойства, вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
163 |
4.7.2. Замена переменных в тройном интеграле . . . . . . . . . . . . |
167 |
|
4.7.3. Приложения тройных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . |
171 |
|
Список литературы |
175 |
|
6
Глава 1.
Неопределенный интеграл
§1.1. Определение неопределенного интеграла
Нахождение производной, или дифференциала, заданной функции — одна из основных задач дифференциального исчисления. Первой основной задачей интегрального исчисления является обратная к дифференцированию задача — отыскание функции по заданной ее производной. К этой задаче приводят многие проблемы механики, физики и других наук (например, задача об определении закона движения материальной точки по заданной ее скорости, а также задача об определении закона движения и скорости материальной точки по заданному ускорению).
Займемся поставленной задачей о нахождении функции по ее производной.
Определение 1.1.1. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x) на интервале (a, b), если в любой точке x из интервала (a, b) функция F (x) имеет производную F ′(x), равную f (x), т. е. во всех точках x (a, b) выполняется равенство F ′(x) = f (x).
Иногда говорят, что F (x) есть первообразная функции f (x) на интервале
(a, b).
ПРИМЕР 1.1.1. Функция F (x) = sin x является первообразной функции f (x) = cos x на всей числовой прямой (−∞, ∞), так как в любой точке x (−∞, ∞) выполняется (sin x)′ = cos x.
7
|
ПРИМЕР 1.1.2. Функция |
F (x) = |
arcsin x |
является |
первообраз- |
|||||||
ной для |
функции |
f (x) = |
|
1 |
|
на интервале (−1, 1), ибо |
в |
|||||
|
√ |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 −x |
|
|
|
(arcsin x)′ |
|
|
каждой |
точке x |
(−1, 1) справедливо |
равенство |
= |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
√ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), то и функция Φ(x) = F (x) + C будет первообразной для f (x) на этом же интервале для любой постоянной C. Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Таким образом, у функции f (x) первообразных бесконечно много. Но оказывается, что все они имеют вид F (x) + C, где F (x) — некоторая конкретная первообразная.
Теорема 1.1.1. Пусть F1 (x) и F2 (x) — любые две первообразные функции f (x) на интервале (a, b). Тогда всюду на этом интервале F2 (x) = F1 (x) + C, где C — некоторая постоянная.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим G(x) = F2 (x) − F1 (x). Тогда G′(x) = F2′(x) − F1′(x) = f (x) − f (x) = 0 для всех точек x (a, b). Зафиксируем произвольную
точку x0 (a, b) и пусть x0 < x < b. Тогда, по теореме Лагранжа,
G(x) −G(x0) = G′(c) ·(x −x0),
где x0 < c < x. Но G′(c) = 0 по нашему предположению. Поэтому для всех x (x0 , b) G(x) = G(x0 ). Рассматривая функцию G(x) на отрезке [x, x0 ], где a < x < x0 , и снова применяя теорему Лагранжа, получаем, что G(x) = G(x0 )
для всех x (a, x0 ). Полагая G(x0 ) = C, получаем G(x) = F2 (x) − F1 (x) = C для всех x (a, b). Что и требовалось доказать.
Таким образом, если мы найдем одну какую-нибудь первообразную F (x) для функции f (x) на интервале (a, b), то любая первообразная G(x) функции f (x) на этом интервале имеет вид G(x) = F (x) + C, где C — некоторая постоянная.
Определение 1.1.2. Множество всех первообразных функции f (x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) (на этом интервале) и обозначается символом
f (x) dx.
Знак называется знаком интеграла, f (x) — подынтегральной функци-
ей, f (x) dx — подынтегральным выражением, x — переменной интегрирования.
8
Таким образом, как следует из определения,
f (x) dx = {F (x) + C, C R}.
Но обычно записывают просто
f (x) dx = F (x) + C, |
(1.1.1) |
если F ′(x) = f (x).
Нахождение первообразной для заданной функции, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.
Часто говорят «вычислить интеграл», или «взять интеграл». Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить правильность интегрирования, достаточно продифференцировать полученный результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Мы сейчас не останавливаемся на вопросе, для каких функций существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл). Отметим без доказательства следующий факт. Если функция f (x) непрерывна на интервале (a, b), то на этом интервале существует первообразная F (x) для функции f (x).
§ 1.2. Свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его свойства.
|
′ |
или d |
|
(1.2.1) |
f (x) dx |
= f (x) |
f (x) dx = f (x) dx. |
||
F ′(x) dx = F (x) + C |
или |
dF (x) = F (x) + C. |
(1.2.2) |
|
Действительно,
′
f (x) dx = (F (x) + C)′ = f (x),
|
|
′ |
|
d |
f (x) dx = |
f (x) dx dx = f (x) dx. |
|
Далее, из dF (x) |
= F ′(x) dx |
следует |
F ′(x) dx = dF (x) = |
= F (x) + C. |
|
|
|
9
Следующие два свойства называются линейными свойствами интеграла.
|
[ f (x) ±g(x)] dx = |
|
f (x) dx ± |
g(x) dx. |
(1.2.3) |
||||
|
C f (x) dx = C |
f (x) dx, |
где C — постоянная. |
(1.2.4) |
|||||
Докажем |
(1.2.3). |
Пусть |
F (x) |
|
— |
первообразная |
функции |
||
f (x), G(x) — первообразная |
функции |
g(x). Тогда |
функции |
||||||
F (x) ± G(x) — |
первообразные |
|
функций |
f (x) ± g(x). |
Следо- |
||||
вательно, |
f (x) dx ± |
g(x) dx |
= |
[F (x) + C1] ± [G(x) + C2] |
= |
||||
= [F (x) ±G(x)] + |
[C1 ±C2] |
= |
[ f (x) ±g(x)] dx + C, где |
C |
= |
||||
= C1 ±C2 — произвольная постоянная.
Отметим, что это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых. Если
F1 (x), F2 (x), . . . , Fn(x)
— первообразные для
f1 (x), f2(x), . . . , fn(x)
и A1 , A2 , . . . , An — произвольные постоянные, то справедливо равенство
[A1 f1(x) + A2 f2(x) + . . . + An fn(x)] dx =
= A1 f1(x) dx + A2 f2 (x) dx + . . . + An fn(x) dx.
§ 1.3. Таблица основных интегралов
Из определения неопределенного интеграла следует, что если F ′(x) = f (x), то f (x) dx = F (x) +C. Исходя из этого и используя таблицу простей-
ших производных, можно составить следующую таблицу неопределенных интегралов, справедливость формул в которой легко проверяется диффе-
10