Высшая_математика_Том1

Свойства линейных операций:

1)A + B = B + A (коммутативность сложения);

2)A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность сложения);

3)существует матрица O (называемая нулевой) такая, что для любой матрицы A

A + O = O + A = A;

4) для любой матрицы A существует матрица −A (называемая противоположной) такая, что

A + (−A) = (−A) + A = O;

5) для любых чисел λ и µ

(λµ)A = λ(µA);

6)(λ + µ)A = λA + µA (дистрибутивность умножения матрицы на число относительно сложения чисел);

7)λ(A + B) = λA + λB (дистрибутивность умножения матрицы на число относительно сложения матриц);

8)1 ·A = A.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.2. Все матрицы, фигурирующие в этих свойствах, имеют одинаковую размерность (m ×n). Очевидно, что нулевой матрицей является матрица размерности (m ×n), все элементы которой равны нулю, а противоположной для матрицы A является матрица, элементы которой

Разностью матриц A = (ai j )m×n и B = (bi j )m×n называется матрица C = (ci j )m×n (обозначаемая A −B) такая, что

A = B + C.

Из определения суммы матриц следует, что элементы матриц A, B,C связаны соотношениями:

ai j = bi j + ci j ,

откуда вытекает

ci j = ai j −bi j ,

31

то есть при вычитании матриц A и B нужно вычитать соответственные

Ясно, что транспонированной строкой будет столбец, составленный из элементов строки, а транспонированным столбцом — соответственно

строку, составленную из элементов столбца: aT = a и bT = b. В развернутом

32

В приложениях часто возникают симметрические матрицы — матрицы, которые совпадают со своими транспонированными, то есть если A = AT

или при всех i, j ai j = a ji.

Ясно, что симметричные матрицы — непременно квадратные, а их элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, сов-

УПРАЖНЕНИЕ 1.1.1. Докажите следующие свойства транспонированных матриц:

1.1.2. Умножение матриц

Наряду с операциями сложения и умножения на число, на множестве матриц можно определить операцию умножения, которая обладает многими (но не всеми!) свойствами умножения чисел или алгебраических выражений. Определим сначала операцию умножения строки на столбец. Пусть

Определение 1.1.1. Произведением строки a на столбец b называется число, обозначаемое a ·b, равное сумме произведений элементов строки на соответствующие элементы столбца:

k=1

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.3. Порядок сомножителей в определении 1.1.1 и обозначении произведения a ·b является существенным: слева — строка, справа — столбец.

2

b = (1, 1, 1) и столбца c = −3 вычислить произведения: a · c, b · c,

1

(a + b) ·c.

33

РЕШЕНИЕ. В соответствии с определением 1.1.1 вычисляем:

a ·c = 1 ·2 + 0 ·(−3) + (−1) ·1 = 1;

b ·c = 1 ·2 + 1 ·(−3) + 1 ·1 = 0.

Для вычисления третьего произведения найдем сначала строку a + b: a + b = (1 + 1, 0 + 1, −1 + 1) = (2, 1, 0).

Опять применяя определение 1.1.1, находим:

(a + b) ·c = 2 ·2 + 1 ·(−3) + 0 ·1 = 1.

Результаты проделанных вычислений обнаруживают справедливость соотношения:

(a + b) ·c = a ·c + b ·c.

Это не случайно: справедливы следующие свойства, позволяющие приумножении суммы строк на столбец или строки на сумму столбцов раскрывать скобки точно так же, как это делается при действиях с числами или алгебраическими выражениями:

1) Для любых чисел λ и µ справедливы равенства:

Доказательство этих свойств читателю предлагается провести самостоятельно в качестве упражнения.

Несколько сложнее вводится операция умножения матриц.

Определение 1.1.2. Произведением матрицы A = (ai j )m×p на матрицу

B = (bi j )p×n называется матрица C = A ·B = (ci j )m×n, элементы которой вычисляются по формуле:

т. е. элемент ci j матрицы C = A ·B равен произведению i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.4. Из этого определения следует, что умножать матрицу A на матрицу B (A слева от B!) можно, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом случае размерность матрицы произведения определяется согласно следующему правилу умножения размерностей:

где слева стоят размерности матриц-сомножителей, а справа — размерность матрицы-произведения.

34

ПРИМЕР 1.1.4. Вычислить произведения AB и BA (в обозначениях произведения точка иногда опускается) для следующих матриц:

РЕШЕНИЕ. Начнем с правила умножения размерностей. Так как матрица A имеет размерность (2 × 2), а матрица B — соответственно (3 × 2), то произведение AB невозможно (число столбцов левой матрицы — 2 не равно числу строк правой матрицы — 3). Произведение BA возможно, так как число столбцов матрицы B и число строк матрицы A совпадают. Размерность произведения найдем, согласно правилу (1.1.8):

(3 ×2)(2 ×2) = (3 ×2),

то есть матрица C = BA состоит из трех строк и двух столбцов. Найдем ее

элементы, пользуясь формулами (1.1.7). Начнем с первой строки:

2

3

то есть элементы первой строки матрицы C = BA получаются последовательным умножением первой строки матрицы B на столбцы матрицы A. Аналогично вычисляя элементы второй и третьей строк матрицы C, полу-

при этом матрица-произведение имеет тот же порядок (докажите это с помощью правила умножения размерностей!).

вычислить их произведения AB и BA.

35

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1.5. Если матрица A является строкой размера n : A = a =

(a1 j )(1×n), а матрица B — столбцом того же размера: B = b = (bi1 )(n×1), то произведение AB определено, так как, по правилу умножения размерностей,

(1 ×n)(n ×1) = (1 ×1).

При этом произведение имеет размерность (1 ×1), т. е. является числом:

Стало быть, произведение матрицы-строки на матрицу-столбец совпадает с произведением строки на столбец в смысле определения 1.1.1 (стр. 33).

УПРАЖНЕНИЕ 1.1.2. Докажите, что произведение матрицы-столбца размерности (m ×1) на матрицу-строку размерности (1 ×n) определено всегда, при этом произведение имеет размерность (m ×n) и вычисляется следующим образом:

Операция умножения матриц обладает свойствами :

1) Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно (неперестановочно), то есть

A ·B =6 B ·A.

Это видно уже из последнего примера. Кроме того для прямоугольных (т. е. не квадратных) матриц одно из произведений A ·B или B ·A может не существовать, а даже если оба эти произведения возможны, то они могут иметь различную размерность.

Те матрицы, для которых свойство коммутативности умножения выполняется, называются перестановочными или коммутативными: матрицы A

и B перестановочны, если для них выполняется равенство:

A ·B = B ·A.

36

Например, следующая квадратная матрица порядка n, у которой на главной диагонали стоят единицы, а на других местах — нули,

Проверьте эти соотношения на примере матриц третьего порядка. Из соотношений (1.1.10) можно заключить, что матрица E из (1.1.9) играет роль единицы в матричном умножении и она называется единичной матрицей.

2) Произведение матриц, если оно имеет смысл, ассоциативно, то есть

3) Произведение матриц ассоциативно относительно умножения на число, т. е. для любого числа λ

λ(A ·B) = (λA) ·B = A ·(λB).

4) Произведение матриц дистрибутивно относительно сложения, т. е.

Иначе говоря, транспонированная матрица от произведения равна произведению транспонированных матриц-сомножителей, взятых в обратном порядке.

Доказательства этих свойств можно найти, например, в [1].

Операция матричного умножения была введена не из желания придумать операцию, похожую на умножение обычных чисел, а из некоторых задач, решение которых без матричного умножения выглядело чересчур сложно и громоздко. Дальше мы увидим много примеров, подтверждающих это. Пока же рассмотрим два таких примера.

ПРИМЕР 1.1.6. Пусть системы переменных (x1 , x2 ), (y1 , y2 ), (z1 , z2 ) выражаются друг через друга соотношениями:

Требуется найти выражение переменных (z1 , z2 ) через (x1 , x2 ).

37

РЕШЕНИЕ. Можно, конечно, подставить значения переменных (y1 , y2 ) из первой системы равенств (1.1.15) во вторую, привести подобные и так решить поставленную задачу. Но попробуем вместо столь громоздкого пути, использовать матричный метод. Прежде всего, запишем соотношения (1.1.15) в более компактной матричной форме. Для этого введем обозначения следующих матриц:

Тогда системы равенств (1.1.15) можно записать в следующем эквивалент-

Если мы теперь подставим во второе из этих равенств значение столбца y из первого равенства, то получим:

z = By = B(Ax) = (BA)x.

Таким образом, столбец переменных z получается умножением матрицыпроизведения BA на столбец x:

z = BA x.

§ 1.2. Определители

1.2.1. Свойства суммирования

В § 1.1 уже использовалось следующее обозначение суммы конечного

числа слагаемых:

n

В этом обозначении xi называется общим членом суммы, i — индексом суммирования, i = 1 и i = n — соответственно нижним и верхним пределами суммирования. Отметим некоторые свойства суммирования:

а) индекс суммирования в (1.2.1) можно заменить другим

nn

∑ xi = ∑ xk ;

i=1 k=1

б) множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы

38

в) если общий член суммы состоит из двух слагаемых, то вся сумма разлагается на две

рования.

Для доказательства этих свойств заметим, что свойства а), б) и в) вытекают непосредственно из определения (1.2.1), а свойство г) следует из того, что левую и правую части (1.2.4) можно рассматривать как сумму всех элементов матрицы

потом наоборот: сначала внутри столбцов и затем по всем столбцам.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.1. Механически изменять порядок суммирования, (как в (1.2.4)), можно только тогда, когда пределы суммирования в обеих суммах — внутренней и внешней — постоянны, т. е. не зависят от индексов суммирования. В противном случае к изменению порядка суммирования следует подходить осторожно. Некоторые приемы этой процедуры иллюстрируются следующим примером.

ПРИМЕР 1.2.1. Поменять порядок суммирования в следующей сумме:

39

у которой в каждой строке с номером i элементы с индексами (ik) при k > i все равны нулю, так как они отсутствуют во внутренней сумме в (1.2.5). При этом слева в (1.2.5) суммирование производится сначала внутри строк матрицы X 0 , а затем по строкам. Если просуммировать элементы матрицы X 0 в обратном порядке, т. е. сначала внутри столбцов матрицы X 0 , а затем по столбцам, то получим ту же сумму (1.2.5), записанную по-другому:

Возможен и другой способ нахождения пределов при изменении порядка суммирования в (1.2.5). Запишем пределы изменения индексов суммирова-

ния в сумме (1.2.5) в виде системы неравенств

(

1 6 i 6 m,

(1.2.7)

16 k 6 i.

Впервой строке этой системы указаны пределы (постоянные!) внешней суммы из (1.2.5) — по индексу i, а во второй — переменные пределы внутренней суммы по индексу k. Чтобы поменять порядок суммирования, нужно поменять индексы ролями, т. е. сделать пределы изменения индекса k постоянными, а пределы изменения i — переменными, зависящими от k. Это

можно сделать, заменив систему (1.2.7) следующей эквивалентной:

(

1 6 k 6 m,

(1.2.8)

k 6 i 6 m.

В результате снова получаем равенство (1.2.6), где в правой части стоят пределы суммирования, соответствующие (1.2.8).

1.2.2.Понятие определителя. Примеры вычисления

В данном пункте рассматриваются только квадратные матрицы. Каждой такой матрице A = (ai j )n×n сопоставим число, называемое определителем, или детерминантом, и обозначаемое символами |A|, det A или в развернутом виде:

При этом элементы матрицы ai j будем называть элементами определителя, а порядок матрицы n — порядком определителя. Таким образом, определитель является функцией, определенной на множестве всех квадратных матриц и принимающей числовые значения. Конкретные определения этой

40