Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

514.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

x1 < x ≤ x2	0			p11										p11 + p12
x > x2	0		p11 + p21									p11 + p12 + p21 + p22 = 1
x > x2	0		p11 + p21									p11 + p12 + p21 + p22 = 1
Получаем функцию распределения :				0,		x £ x1 , y £ y1
	ì
		ïp , x < x £ x							2	, y < y £ y			2
	ï		11	1					2		1		2
	ï			+ p12		, x1 < x £ x2 , y > y2
	F(x, y) = íp11			+ p12		, x1 < x £ x2 , y > y2
		ïp + p			21	, x > x				2	, y < y £ y			2
	ï		11		21	> x				2	1			2
	ï				1,	> x	2	, y > y				2
	î						2					2

Для зависимых случайных величин, образующих двумерную систему (X ,Y ) можно

найти условные законы распределения и соответствующие им условные математические ожидания.

Условным законом распределения одной из случайных величин, входящих в систему двумерных случайных величин, называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая случайная величина приняла определённое значение:

или:

P{Y = y j

| X = xi

} =

P{X = xi ,Y = y j }

i = 1,2,...,n;

j = 1,2,...m

P{X = xi }

p( y j | xi ) =

pij

Получаем условный закон распределения для каждого X = x i

Y = y j | X = x i

…

p( y j | xi )

pim / pxi

pi1 / pxi

pi2 / pxi

…

ожидание

Условное математическое

M (Y | X = :xi ) = m y j × pij

pxi

j=1

Для каждого значенияi

X = xi

можно вычислить соответствующее математическое

ожидание

. В результате получаем зависимости

M (Y / x) = ϕ(x)

M (Y | X = x )

функцией регрессии.

Функция

) называется

Графики этих функций

называются

линиями регрессии

Замечание. Аналогичным образом можно находить условные математические ожидания при y = y j .

Критерии независимости


·	Случайныеi			величиныj	X	и	Y независимы	, если независимы события
	Случайныеi			величиныj		и	.	, если независимы события
	{X < x }	и	{Y < y } i , j				.
	{X < x }		{Y < y } i , j

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

· Дискретные случайные величины независимы, если для

""i = 1,n; j = 1, m : pij = pxi × p yj

·Случайные величины независимы, если условный и безусловный законы распределения совпадают.

·Случайные величины X и Y независимы, если :

F(x, y) = F1 (x) × F2 (y)

Основные числовые характеристики

Математическим ожиданием двумерной случайной величины (X ,Y )

называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:

n m	n m
MX = mx = ååxi pij ,	MY = my = åå y j pij ,
i=1 j=1	i=1 j=1

Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:

DX = åå(xi - mx )2 × pij ,

DY = åå( y j - my )2 × pij ,

k ,s

(

i 1

j 1

i 1

j 1

Начальным моментом

порядка k+s

системы

X ,Y )

называется

k,s

= α

= M (X k Y s )

Замечания

· mx

= α

1,0

0,1

·Начальный момент 2-го порядка α1,1 = MXY ("смешанное мат. ожидание") вычисляется как:

MXY = ååxi

y j pij

i 1

j 1

Центральным моментом

k ,s порядка

k+s

(X ,Y )

μk,s

= M ((X -

mx )

системыy

называется

= μ

k (Y - m )s )

Замечание

2,0

μ0,2

ϕ(X ,Y ) :

Математическое

ожидание функции случайной величины

M ( (X ,Y )) = n

, y

) × p

å å

ϕ i 1 j 1 ϕ

Ковариацией cov(X ,Y ) или

корреляционным моментом

K XY называется:

K XY

= cov(X ,Y ) = M [(X − mx )(Y − my )]

Для дискретной случайной

величины

K XY = åå(xi - mx )(y j - my ) pij

i=1 j=1

Ковариацию удобнее вычислять по формуле:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

K XY = MXY - MX × MY

Замечания

б).

K XY

= KYX.

KXY

= 0

а).

K XX

= DX ,

KYY

= DY

в). Для независимых случайных величин

Коэффициентом корреляции

называется

rXY

K XY

квадратические отклонения

средние

где σ

, σ

Замечания

а).

rXY

£ 1 .

rXY = 0

б). Если случайные величины независимы:

в).

Если

(случайные величины связаны линейной зависимостью):

rXY

= 1

(

rXY

= -1 при a

rXY

= 1 при a > 0

)

Kназывается матрица

Ковариационной матрицей

æ K XX

K XY

ö æ DX

K XY ö

= ç

Задачи к разделу I: Двумерные дискретные случайные величины.

Задания:

1.Записать закон распределения случайного вектора (X ,Y ) (в виде таблицы)

2.Найти функцию распределения

3.Описать законы распределения отдельных компонент

4.Установить зависимость компонент X и Y

5.Найти условные законы и условные мат. ожидания, построить линии регрессий

6.Найти ковариационную (корреляционную) матрицу

7.Найти rXY

Варианты:

1.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «5», Y – число появлений четной цифры.

2.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 3.

3.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4.Случайная величина X принимает значения 0;1;3 с вероятностями 0,1;0,8;0,1. Случайная величина Y принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,3;0,5;0,2. X и Y независимы.

5.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 4%, брак с дефектом второго типа – 2%. Годная продукция составляет 96%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

6.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.

7.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: X – число белых шаров в выборке, Y – число черных шаров в выборке.

8.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор четного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 2.

9.Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор четности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.

10.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 2%, брак с дефектом второго типа – 1%. Годная продукция составляет 98%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

11.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число черных шаров у первого, Y – число черных шаров у второго.

12.Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор четности произведения выпавших очков.

13.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

14.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 5%, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 3% случаев встречается дефект второго типа. В продукции, свободной от дефекта первого типа, дефект второго типа встречается в 2% случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

15.Бросаются две игральные кости. Случайные величины: X - индикатор нечетности суммы выпавших очков, Y – индикатор нечетности произведения выпавших очков.

16.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 3.

17.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара. Второй начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

18.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «3», Y – число появлений нечетной цифры.

19.В продукции завода брак с дефектом второго типа составляет3%, причем среди забракованной по этому признаку продукции в 2% случаев встречается дефект первого типа. В продукции, свободной от дефекта второго типа, дефект первого типа встречается в 3% случаев. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

20.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число черных шаров у второго.

21.Случайная величина X принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,2;0,5;0,3. Случайная величина Y принимает значения -1;0;1 с вероятностями 0,1;0,1;0,8. X и Y независимы.

22.Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: X – число появлений «4», Y – число появлений четной цифры.

23.Один раз подбрасывается игральная кость. Случайные величины: X – индикатор нечетного числа выпавших очков, Y – индикатор числа очков, кратного 5.

24.Два игрока – Первый и Второй – наудачу вытаскивают по одному шару из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара. Первый начинает. X – число белых шаров у первого, Y – число белых шаров у второго.

25.Случайная величина X принимает значения 0;3;6 с вероятностями 0,2;0,7;0,1. Случайная величина Y принимает значения -2;-1;0 с вероятностями 0,2;0,6;0,2. X и Y независимы.

26.В продукции завода брак с дефектом первого типа составляет 3%, брак с дефектом второго типа – 4%. Годная продукция (не содержащая брак с дефектами обоих типов) составляет 95%. X – продукция с браком первого типа, Y – продукция с браком второго типа.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

0, (x, y) Ï D

Раздел II: Непрерывные двумерные случайные величины.

Плотностью распределения непрерывной двумерной случайной величины называется вторая смешанная производная ее функции распределения:

f (x, y) = F¢¢ (x, y) = ¶2 F(x, y)

xy ¶x¶y

Случайная величина (X ,Y ).равномерно распределена в области D площадью SD , если ее плотность распределения задается так:

ìc = const, (x, y) Î D f (x, y) = í

Значение константы однозначно определяется условием нормировки:

∞∞

òò f (x, y)dxdy = 1

−∞−∞

Отсюда:

c = 1/ S D

Пусть X – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f1 (x) , Y – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f2 (y) , f (x, y) - плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (X ,Y ). По известной двумерной плотности распределения f (x, y) можно однозначно восстановить одномерные плотности распределения:

∞

f 1(x ) = òf (x , y )dy

−∞

∞

f2 ( y) = ò f (x, y)dx

−∞

Случайные величины X и Y независимы, если

f (x, y) = f1 (x) × f2 (y)

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины Y при условии X=x (условная плотность):

f ( y \| x) =	f (x, y)	, где f1 (x) ¹ 0
	f1 (x)

Плотность вероятности условного распределения непрерывной случайной величины X при условии Y=y:

f (x \| y) =	f (x, y)	, где f2 (y) ¹ 0
	f2 ( y)

Отсюда

f (x , y ) = f 1(x ) ×f (y | x ) = f 2 (y )×f (x | y )

Основные числовые характеристики

Математическим ожиданием непрерывной двумерной случайной величины

(X ,Y ) называется совокупность математических ожиданий одномерных случайных величин:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞	∞	∞	∞
MX = mx = ò	ò x × f (x, y)dxdy,	MY = my = ò	ò y × f (x, y)dxdy
−∞ −∞		−∞ −∞

Точка с координатами (mx , my ) называется центром рассеивания.

Дисперсией двумерной случайной величины называется совокупность двух дисперсий:

∞

DX = ò

ò(x - mx )2 × f (x, y)dxdy,

DY = ò

ò( y - my )2 × f (x, y)dxdy,

−∞

Математическое ожидание функции

ϕ(X ,Y )

∞ непрерывной случайной величины

∞

M (ϕ(X ,Y )) = ò òϕ(x, y) f (x, y)dxdy

−∞−∞

Смешанное мат. ожидание

∞ ∞

MXY =

ò ò x × y × f (x, y)dxdy

Ковариация

−∞−∞

в случае непрерывныхXY xслучайных величинx :

∞ ∞

ò ò

× y × f (x, y)dxdy - m × m

−∞−∞

Коэффициент корреляции:

K XY

rXY =

, где

σ X =

σ Y

= DY

средние квадратические отклонения

Функции

σ X ×σY

в случае непрерывных случайных величин есть условные

регрессии

∞

математические|

ожидания|:

∞

ϕ(x) = M (Y x) =

y × f ( y x)dy

ψ ( y) = M (X y) =

x × f (x y)dx

−∞ò

где f (y | x) и f (x | y) - условные плотности распределения.

Задачи к разделу II: Непрерывные двумерные случайные величины.

Задания:

1.Написать выражение для f (x , y )

2.Найти f 1(x ) , f 2 (y )

3.Найти координаты центра рассеивания

4.Сделать вывод о зависимости X и Y

5.Найти плотности условных распределений

6.Найти ковариационную матрицу

7.Найти rXY

Варианты:

1.Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-1,1), R(0,2) соответственно.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2.Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с вершинами в точках (-1,0), (1,2), (1,0).

3.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

ì		£1
f (x , y ) = íc(x + y ), при 0 £ x £1;0 £ y		£1
î	0, в остальных случаях

4. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной а и диагоналями, совпадающими с осями координат.

5. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующий вид:
	ì				2	), при 0 £ x £ 2;0 £ y £ 2
f (x , y ) =	c(xy + y
	í			0,	в остальных случаях
	î
6. Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с
вершинами в точках (-1,0), (0,1), (0,0).
7. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет
следующий вид:
	ì		2	+ y ), при 0 £ x £ 1;0 £ y £ 1
f (x , y ) =	c(x
	í			0, в остальных случаях
	î
8. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет
следующийf (x , y )		вид:
=	ì		+ xy ), при 0 £ x £ 1;0 £ y £ 1
	c(x
	í			0, в остальных случаях
	î

9. Двумерная случайная величина1имеет равномерное распределение в области:
				- £ x £ 2; 1 £ y £ 2
10.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет
следующий вид:
ì				0 £ x £ 2;0 £ y £1
f (x , y ) = íc(2xy + y ), при
î	0,	в остальных случаях
11.Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с
вершинами в точках (0,0), (0,2), (1,0).
12.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет
следующийf (x , y )	вид:
ì		при 0 £ x £ 1;0 £ y £ 1
= c(xy ),
í	0, в остальных случаях
î
13.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет
следующий вид:
ì		3	), при	-1 £ x £ 1;-1 £ y £ 1
c(1- xy
f (x , y ) = í	0, в остальных случаях
î
				48

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

14.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет следующий вид:

f (x , y ) =

×sin(x

+ y ), при 0 £ x £

/ 2;0 £ y £

/ 2

íc

случаях

0, в остальных

15.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующийf (x , y )

вид:

−

, при x ³ 0; y ³ 0

î 0,

×e

в остальных случаях

16.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующий вид:

y ³ 0; x + y £ 1;2y - x £ 2

f (x , y ) =

c, при

в остальных случаях

17.Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующий вид:

× xy

при y ³ -1; x ³ 0; y < -x

f (x , y ) =

в остальных случаях

18.Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(-2,0),

R(0,2) соответственно.

19.

Двумерная случайная величина1имеет равномерное распределение в области:

20.

- £ x £ 2; 1 £ y £ 2

Случайные величины X и Y независимы и распределены по законам R(0,3),

21.

R(0,2) соответственно.

Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в треугольнике с

22.

вершинами в точках (-2,0), (1,2), (1,0).

Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующий вид:2y ), при 0

1;0

c(x +

f (x , y ) = í

в остальных случаях

23.

Случайный вектор (X,Y) распределен равномерно в квадрате со стороной,

24.

равной 2, и диагоналями, совпадающими с осями координат.

Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующийf (x , y )

вид:

), при 0

£ x

£ 1;0

£ y £ 1

= c(x + y

25.

в остальных случаях

Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет

следующий вид:

× cos(x

+ y ), при

£ x £

/ 2;0 £ £ / 2

f (x , y ) = í

0, в остальных

случаях

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЛИТЕРАТУРА

1.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. –М.: Высшая школа, 2002. -448 с.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. –М.: Высшее образование, 2007. -404 с.

3.Под ред. Свешникова А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. – М.: Наука, 1970. – 656 с.

4.Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. – 240 с.

5.Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: Издательство «Лань», 2004 – 256 с.

6.Веричев С.Н., Икрянников В.И., Резников Б.С., Бутырин В.И. Специальные главы высшей математики: Руководство к решению задач по теории вероятностей и статистической обработке экспериментальных данных: учеб. пособие –

Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. – 103 с.

7.Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Под ред. С.Н.Федина. –М.: Айрис-

пресс, 2007. -592 с.

8.Сборник задач по математике для втузов. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. А.В.Ефимова. – М.: Наука, 1990. -428 с.

9.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2007. -288 с.

10.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006. -575 с.

11.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1987. -240 с.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.67 Mб101Методичка ч.2 3610 для beginners .doc
#
27.03.2015592.38 Кб18методичка ЭК.doc
#
27.03.2015580.89 Кб37Методичка №3924 радиоавтоматика.pdf
#
14.08.2019162.3 Кб2Методичка-проект КР.doc
#
27.03.2015228.61 Кб12методичка. маркетинг. кожанова.pdf
#
27.03.2015514.58 Кб46Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс.pdf
#
27.03.20151.29 Mб85Методичка.doc
#
27.03.2015826.37 Кб43Методичка.doc
#
27.03.20154.78 Mб172методичка.doc
#
27.03.2015635.39 Кб38Методичка.doc
#
04.05.20191.67 Mб5Методичка.doc