Министерство образованияроссийской федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

М.Э. Рояк, С.Х. Рояк

Основы дискретной математики

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Новосибирск 2003

УДК 519.1 (075.8)

Р 816

Рецензенты: д-р.физ.-мат.наук., проф. В.А. Селезневканд.техн.наук, доц.И.Л. Еланцева

Работа подготовлена на кафедре прикладной математики для студентов I курса специальности 510200 «Прикладная математика»

Рояк М.Э., Рояк С.Х.

Р 816        Основы дискретной математики: Учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 127 с.

Рассматриваются основные разделы дискретной математики: системы счисления, теория множеств, математическая логика. Приводятся примеры решения типовых задач.

УДК 519.1 (075.8)

Новосибирский государственный технический университет, 2003

Оглавление

Оглавление 3

Введение 6

I. Системы счисления 7

1.1. Непозиционные системы счисления. Римская система счисления 7

1.2. Позиционные системы счисления 8

1.3. Взаимосвязь систем счисления 9

1.4. Двоичная система счисления 13

1.4.1. Двоичная арифметика 14

1.4.3. Вычитание с использованием двоичного дополнения. Умножение 14

Алгоритм вычитания целых десятичных чисел 15

Алгоритм отыскания двоичного дополнения числа 16

Теория множеств 18

Глава 1. Множества 18

1.1. Основные определения 18

1.2. Основные операции теории множеств 19

1.4. Диаграммы Венна 22

1.5. Основные законы теории множеств 23

1.6. Декартово произведение и отношения 25

Глава 2. Бинарные отношения 27

2.1. Основные определения 27

2.2. Специальные бинарные отношения 33

Глава 3. Функции и операции 40

Примеры функций 41

Операции над функциями 42

Свойства бинарных операций 43

Глава 4. Алгебраические структуры 45

III. Математическая логика 48

Глава 1. Переключательные функции 48

1.1. Основные определения 48

1.2. Основные теоремы (эквивалентные соотношения) переключательных функций 51

Глава 2. Булева алгебра 52

2.1. Основные определения 52

эквивалентные соотношения в булевой алгебре 54

2.2. Минимизация булевых функций 60

2.3. Аналитические методы нахождения МДНФ 64

Метод Квайна 64

Формулы метода 64

Алгоритм метода 64

Метод Блейка 65

Формулы метода 65

Алгоритм метода 65

Построение МДНФ из Сокр.ДНФ с помощью таблицы Квайна 66

Алгоритм получения fМДНФ с помощью таблицы Квайна 66

2.4. Графическая минимизация логических функций 69

Метод карт Карнапа 70

Алгоритм минимизации по карте Карнапа 71

2.5. Полнота систем булевых функций 73

Классы Поста 73

Глава 3. Логика высказываний 78

3.1. Основные понятия 78

3.2. Алгебра логики высказываний 80

3.3. Применение к естественному языку 81

3.4. Исчисление высказываний (ИВ) 83

Глава 4. Логика предикатов 90

4.1. Алгебра логики предикатов 95

4.2. Выполнимость и общезначимость 96

4.3. Равносильность формул 98

Приведенные формулы 100

4.4. Применение логики предикатов к естественному языку 102

4.4.1. Суждения 104

4.4.2. Исчисление одноместных предикатов как исчисление классов. Теория категорических суждений и силлогизмов Аристотеля 109

Законы формальной логики Аристотеля: 110

4.4.3. Умозаключения 114

4.4.4. Основные законы формальной логики. Логические основы аргументации 119

4.5. Исчисление предикатов 121

Литература 124

Предметный указатель 125

Введение

Курс дискретной математики является одним из базовых среди математических дисциплин. Именно в этом курсе закладываются основы математического мышления, логики, методов доказательств, построения математических моделей. Традиционно этот курс состоит из следующих разделов:

• теория множеств;

• математическая логика;

• комбинаторика;

• теория графов.

Первая часть учебного пособия посвящена в основном теории множествиматематической логике. Кроме того, в этой части рассматриваютсясистемы счисления.

При изучении теории множествосновное внимание уделяется методам построения доказательств и их грамотному изложению. Теория множеств удобна для этих целей тем, что многие её законы могут быть доказаны на основе небольшого числа базовых определений, что позволяет при построении доказательства сосредоточить внимание на его структуре. Таким образом, теория множеств служит примером абстрактной математической теории, с помощью которой рассматриваются основные методы построения доказательств: прямое, от противного, по индукции.

Формальные методы построения доказательств будут представлены при изучении математической логики. Эта часть курса включает в себябулеву алгебру, логику высказыванийилогику предикатов, т. е. основные разделы формальной логики. Здесь основное внимание уделяется формализации понятий и построению моделей в различных областях знаний и показано, что математическая логика фактически являетсяметаматематикой, т. е. то, что с помощью формальной логики возможно излагать положения любой из математических дисциплин.

Разделы, посвященные основам комбинаторики и теории графов, будут включены в соответствующее учебное пособие.