III. Математическая логика

Глава 1. Переключательные функции

1.1. Основные определения

Переключательными (логическими) функциями называют функции, область значений которых есть подмножество двухэлементного множества {0,1}, а область определения –, гдеn – число переменных. Очень часто значение «0» обозначают как «Л» – «ложь», а значение «1» – как «И» – «истина». Каждая комбинация значений переменных называетсянабором(набором переменных). Множество наборов переменных образуетобласть определения логической функции. Число всех возможных различающихся наборов значенийnпеременных переключательной функцииf(x₁,x₂,x₃, …,x_n) равно(равно числу всех возможных двоичных векторов длины n). Иногда множество наборов переменных интерпретируют как вершиныn-мерного куба. Наборы и соответствующие им значения функции составляюттаблицу истинности функции, в левой части которой выписаны все возможные наборы значений аргументов функции, а в правой части соответствующие этим наборам значения функций. Количество различных переключательных функцийnаргументов(равно числу возможных расстановок нулей и единиц в столбце сстроками).

Логическую функцию можно задать двумя способами:

1. С помощью таблиц истинности (табличный способ). Обычно наборы значений функций располагаются в таблице истинности по возрастанию соответствующих им n-значных двоичных чисел.Такое упорядочивание наборовпозволяет записывать логическую функцию в виде набора значений

функций (транспонированный правый столбец таблицы истинности).

2. В виде формулы, которая описывает логическую функцию как суперпозицию других функций. Для каждой логической функции существует бесконечное множество формул, но таблица истинности у всех этих формул одна и та же. Формулы, задающие одну и ту же логическую функцию (т.е. они на одних и тех же наборах имеют одни и те же значения), называются равносильными (эквивалентными).

Пример 23. Рассмотрим три способа задания функции f(a, b, c)

a b c	F
0 0 0	0
0 0 1	0
0 1 0	0
0 1 1	0
1 0 0	0
1 0 1	1
1 1 0	1
1 1 1	1

Таблицей истинности.

Набором значений (сокращенной таблицей истинности):

f(a, b, c)=(00000111)=(0000 0111).

Формулой:

f(a, b, c)= a(bc).

Примечание. Отметим, что наличие пробела между значениями при табличном задании функции (или пустой строки в таблице истинности) существенно облегчает восприятие текста. Поэтому в дальнейшем договоримся отделять подчеркиванием в таблице истинности (или пробелом в наборе значений) по 4 строки (значения).

В таблице 2 приведены наиболее часто встречающиеся обозначения и наименования всех переключательных функций двух переменных. Функции в таблице заданы набором значений. Отметим, что для большинства логических функций двух переменных имеется несколько достаточно распространенных обозначений и наименований.

Пусть формула F зависит от списка переменных <X₁, X₂, ..., X_k>.

Формула Fназываетсятавтологией(тождественно-истинной формулой– ТИФ), если при любых значениях переменных списка <X₁, X₂, ..., X_k> соответствующая ей функция принимает значение 1.

Таблица 2.