Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Сборник задач и методические указания

к выполнению расчетно-графических работ

для студентов IIкурса ФЛА.

Новосибирск

2008

Составили: Е.Н. Белоусова, ст. преп.

Д.В. Моховнев, канд. физ.-мат. наук

А.А. Поздеев, канд. физ.-мат. наук

Рецензент: Е.Г. Подружин, д-р техн. наук, проф.

Работа подготовлена на кафедре прочности летательных аппаратов

Введение

В соответствии с графиком самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей» студенты обязаны выполнить индивидуальное практическое задание. Настоящая работа состоит из двух частей: «Случайные события» и «Случайные величины», которые, в свою очередь, образованы из разделов. В каждом из разделов приведено 25 вариантов задач. Студент обязан решить одну задачу из каждого раздела. Номера задач назначаются преподавателем.

Указания по оформлению заданий

1. Текстовая часть заданий выполняется на листах писчей (белой или клетчатой) бумаги формата А4 (210297 мм). Листы нумеруются и сшиваются в тетрадь с обложкой из плотной бумаги.

2. Текст пишется четко и аккуратно. Слева оставляются поля 2 см для сшивания, справа, сверху и снизу – 0,5 см.

3. Приводятся условия задач и, если необходимо, поясняющие рисунки.

4. Текстовая часть должна представлять последовательное изложение теоретических положений и решений предложенных задач. Все используемые обозначения должны совпадать с лекционными обозначениями или быть объяснены. Не допускается приведение формул и вычислений без текстового комментария.

Часть 1. Случайные события. Раздел I: Комбинаторика.

При изучении процедур случайного выбора, задач о размещении и упорядочении, азартных игр мы имеем дело с конечным пространством элементарных событий . Всем точкам этих пространств приписывают равные вероятности. Чтобы найти вероятность некоторого событияA мы должны разделить число элементарных событий, составляющих A (благоприятные случаи) на общее число элементарных событий (возможные случаи). Подсчет числа случаев облегчается использованием нескольких стандартных правил.

Для выявления общих закономерностей при подсчете числа случаев рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить на полке в определенном порядке 3 книги A, B, C?

Решение: Для подсчета числа способов удобно построить граф (дерево). При построении дерева необходимо учитывать порядок расположения книг.

Таким образом, три книги на полке можно расставить шестью способами (A-B-C, A-C-B, B-A-C, B-C-A, C-A-B, C-B-A) или как говорят число перестановок из 3 книг равно 6.

1

2

3

Чтобы «увидеть» правило подсчета числа перестановок решим эту задачу другим способом. Требуется заполнить три места на полке:

На первое место можно поместить или книгу A или книгу B или книгу C, то есть первое место может быть занято тремя способами. Второе место может быть заполнено двумя способами для каждого случая заполнения первого места. Третье место может быть заполнено только одним способом. Тогда общее число перестановок находится перемножением числа способов заполнения первого, второго и третьего мест: 321=6.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов, отличающихся только порядком их расположения.

Формула для числа перестановок

Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Необходимо найти число отличных друг от друга перестановок элементов этого множества. Перестановки будем создавать с помощью приема, изложенного в предыдущей задаче.

Имеется n ячеек, которые нужно заполнить n элементами множества.

№	1	2	3	…	n

Первую ячейку можно заполнить одним из n элементов. Это можно сделать n способами. Вторая заполняется одним из оставшихся n-1 элементов. Это можно сделать n-1 способами для каждого случая заполнения первой ячейки. Аналогично третья ячейка заполняется n-2 способами для каждого случая заполнения первой и второй ячеек. И так далее. И наконец последняя, n-ая ячейка заполняется только одним способом. Тогда число различных случаев заполнения ячеек определяется перемножением числа способов заполнения каждой ячейки: n(n-1)(n-2)… 1=n!

Таким образом, число перестановок из n элементов определяется по формуле:

Теперь рассмотрим такие перестановки, в которых участвуют не все элементы, а только часть из них.

Пример 2. Сколькими способами из семи книг можно отобрать три и расставить их на три места на книжной полке?

Решение: На первое место можно поставить любую из семи книг семью способами. На второе место можно поставить любую из оставшихся шести книг шестью способами. На третье место можно поставить одну из пяти книг пятью способами. Тогда общее число размещений трёх книг из семи равно произведению числа способов расстановки книг: 765=210

Запишем произведение по-другому:

Число размещений из 7 объектов по 3 равно: .

Размещением из n элементов по m при 1mn называется всякая комбинация, объединяющая в определенном порядке m каких-нибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если они отличаются либо своим составом, либо порядком следования входящих в него элементов, либо и тем и другим.

Можно показать, что число размещений из n по m равно .

Пример 3: Сколько пятибуквенных слов можно составить из букв слова «учебник»? Под словом понимается просто набор букв, не имеющий смысла.

Решение: В слове «учебник» 7 букв. Для получения пятибуквенного слова нужно из этих семи букв выбрать пять, и расположить их в определенном порядке. Такая комбинация букв называется размещением. Тогда число слов равно числу размещений из семи по пять:

Пример 4: Сколько различных слов, содержащих все буквы, можно составить из слова «корнет»? Сколько среди них таких, в которых буквы «к» и «о» стоят рядом?

Решение: Решим первую часть задачи. Поскольку при построении слов мы используем все буквы, меняя их местами, то полученные слова являются перестановками из шести букв слова «корнет». Число таких слов равно числу перестановок из шести элементов: Р₆=6!=720.

Рассмотрим вторую часть задачи. Если буквы «к» и «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Таких слов будет Р₅=5!=120. Однако можно считать одной буквой и буквосочетание «ок». Таких слов тоже будет 120. Таким образом число слов в которых буквы «к» и «о» стоят рядом 2120=240.

Два основных принципа комбинаторики.

Представим себе, что из города A в город B можно добраться либо одним из m авиарейсов, либо одним из n поездов, либо одним из k теплоходов. Очевидно, что из A в B можно попасть m+n+k способами. Этот пример иллюстрирует следующее общее положение:

Комбинаторный принцип сложения. Предположим, что та или иная задача решается любым из k методов, причем первый метод можно применить n₁ способами, второй метод – n₂ способами, …, k-ый метод – n_k способами. Тогда рассматриваемая задача решается n₁+ n₂+…+ n_k способами.

Вообразим, далее, что из пунктаA в пункт C можно добраться только через пункт B, причем A и B связаны m путями, а B и C n путями. Тогда, очевидно, A и C связаны mn различными путями. При этом два пути из A в C считаются разными, если они различаются хотя бы на одном из участков AB или BC.

Рассмотренный пример допускает следующее обобщение.

Комбинаторный принцип умножения. Предположим, что та или иная задача решается за k последовательных этапов: n₁ способами на первом этапе, n₂ способами на втором этапе,…, n_k способами на k-ом этапе. Пусть далее, число способов решения задачи на каждом следующем этапе не зависит от того, какими именно возможными способами она решалась на всех предыдущих этапах. Два решения считаются разными, если они получены по-разному хотя бы на одном из этапов. В этих условиях задачу можно решить n₁n₂…n_k способами.

Пример 5: Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) повторяющиеся цифры допускаются; в) числа нечетные и цифры не повторяются?

Решение: а) Задача решается в три этапа: заполнение первого, второго и третьего разряда числа цифрами.

Первый разряд заполняется одной из пяти цифр, то есть пятью способами: n₁=5.

Второй разряд заполняется одной из четырех оставшихся цифр: n₂=4.

Третий разряд заполняется одной из трех оставшихся цифр: n₃=3

Тогда n₁n₂n₃=543=60 – трехзначных чисел, с неповторяющимися цифрами.

Этот ответ можно было получить используя готовую формулу числа размещений из пяти элементов по три:

б) В этом случае каждый разряд заполняется пятью цифрами: n₁=n₂=n₃=5. Следовательно n₁n₂n₃=555=125 – трехзначных чисел, с повторяющимися цифрами.

в) Чтобы число было нечетным, необходимо, чтобы последняя цифра была нечетной. Будем составлять число с конца – справа налево:

3

2

1

В нашем случае три нечетных цифры «1», «3», «5». Тогда n₁=3 – первую позицию можно заполнить тремя способами. Вторую позицию можно заполнить четырьмя оставшимися цифрами n₁=4, а третью – тремя оставшимися n₃=3. Тогда n₁n₂n₃=343=36 – трехзначных нечетных чисел с неповторяющимися цифрами.

Сочетания

Пример 6: Сколькими способами можно выбрать три книги из четырех A, B, C и D, если порядок выбора не важен?

Решение: Если бы нас интересовало не только какие три книги из четырех были выбраны, но и порядок выбора, то число способов выбора было бы равно числу размещений из четырех по три: . Если порядок не важен, то существует только четыре возможных выбора:BCD; ACD; ABD; ABC. Каждый выбор назовем сочетанием из четырех по три. Число сочетаний из четырех по три равно .

Дадим общее определение сочетанию.

Сочетанием из n элементов по m при 1mn называется всякая комбинация, объединяющая m каких-нибудь элементов из множества данных n элементов. Две такие комбинации считаются различными, если какой-нибудь из данных n элементов входит в одну из них, но не входит в другую.

Говорят также, что сочетания отличаются друг от друга своим составом. В перестановках и размещениях порядок элементов учитывается, а в сочетаниях не учитывается.

Найдем связь между числом сочетаний из n по m и числом размещений изn по m .

Пусть из n элементов мы выбрали m. Если нас не интересует порядок выбора, то это можно сделать способами. Если порядок выбора нас интересует, то элементы в каждом сочетании можно разместитьспособами. То есть вначале выбрали элементы, а затем их упорядочили и таким образом получили размещение. В соответствии с комбинаторным принципом умножения эти две последовательные операции можно сделатьспособами. Таким образом. Следовательно число сочетаний равно:

Пример 7: Имеем колоду в 52 карты. Сколькими способами можно сдать 13 карт, если порядок сдачи не интересен.

Решение: Число способов равно числу сочетаний из 52 по 13: