Методичка №3924 радиоавтоматика

УДК 621.396.6-52(07)

Р 154

Данная работа включает материалы, способствующие успешному выполнению студентами РГЗ по радиоавтоматике, в том числе порядок выполнения расчетов и графических построений, необходимых для работы, краткие теоретические сведения из теории автоматического регулирования, а также список литературы.

Составил С.Е. Лявданский, канд. техн. наук, доц.

Рецензент В.А. Яковенко, канд. техн. наук, доц.

Работа подготовлена на кафедре радиоприемных и радиопередающих устройств НГТУ

Новосибирский государственный технический университет, 2010

2

1.ЗАДАНИЕ НА РАБОТУ

1.По имеющейся в исходных данных передаточной функции разомкнутой системы записать передаточную функцию замкнутой системы.

2.Записать передаточную функцию для ошибки от регулирующего воздействия.

3.Изобразить структурную схему исследуемой системы, считая систему следящей.

4.Записать характеристические полиномы разомкнутой и замкнутой системы.

5.Исследовать систему на устойчивость по критерию Гурвица.

6.Исследовать систему на устойчивость по критерию Михайлова методом чередующихся корней.

7.Построить годограф Михайлова с указанием масштабов по обеим осям.

8.Исследовать систему на устойчивость по критерию Найквиста.

9.Построить годограф Найквиста с указанием масштабов по обеим

осям.

10.Определить запас устойчивости по модулю и по фазе.

11.Вычислить коэффициенты ошибки и найти ошибку регулирования системы в установившемся режиме ξ(t) при заданной входной функции.

12.Построить график ξ(t) в масштабе по обеим осям.

Входное воздействие для всех вариантов в общем виде записывается функцией:

X (t) A Bt Ct2 Dt3 .

Численные значения A, B, C, D, а также параметры передаточной функции для своего варианта каждый студент выбирает из табл. 2, а структуру исследуемой системы – из табл. 1. Номера вариантов для каждого студента присваиваются преподавателем в начале семестра.

3

Т а б л и ц а 1

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При выполнении первых двух пунктов задания передаточные функции записывать в общем виде, без подстановки в формулы численных значений параметров; скобки при этом раскрывать не нужно.

Характеристические полиномы записывать в следующей последовательности: в общем виде с нераскрытыми скобками; скобки раскрыть и сделать приведение подобных; подставить численные значения и записать полином с численными коэффициентами в порядке убывания степеней.

Теоретические сведения и рабочие формулы для выполнения всех пунктов задания содержатся в следующем, третьем разделе данного методического пособия.

3. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

3.1. Алгебраический критерий устойчивости гурвица

Еще в конце восьмидесятых годов XIX века выдающийся русский математик и механик А.М. Ляпунов сформулировал известные теоремы устойчивости. Исследование устойчивости по А.Н. Ляпунову сводится к доказательству отсутствия в характеристическом полиноме системы корней с положительными или нулевыми вещественными частями. Однако пользоваться таким способом анализа устойчивости не всегда удобно, так как это связано с необходимостью отыскания корней алгебраического уравнения типа

где n – целое положительное число.

Поэтому многими специалистами в области математики, механики и автоматики велись поиски условий, выполнение которых гарантировало бы отрицательные значения вещественной части всех корней характеристического уравнения. Такие условия устойчивости получили название критериев устойчивости. Первыми появились алгебраические критерии устойчивости, затем, уже в 30-х годах XX века – частотные. Среди алгебраических критериев наиболее известный и удобный для практического применения – критерий Гурвица (1895 г.). Гурвиц доказал, что если наложить определенные условия на коэффициенты уравнения (3.1), то при их выполнении все корни данного уравнения будут

5

иметь отрицательные вещественные части. Эти условия можно разделить на необходимые и достаточные. Необходимым условием устойчивости является положительность всех коэффициентов уравнения

(3.1):

Если это условие не выполняется, дальнейший анализ можно не проводить – система неустойчива. Если же условие (3.2) выполняется, то проверяется достаточное условие – положительность всех диагональных определителей матрицы Гурвица. Эта матрица составляется из коэффициентов уравнения (3.1) по очень простым правилам:

1)матрица содержит n строк и n столбцов;

2)по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего пра-

вого вписываются коэффициенты от an 1 до a0 ;

3) остальные места можно заполнять так: по строке вправо вписываются коэффициенты с возрастанием индекса, влево – с убыванием. Можно то же самое делать по столбцам: вверх – с убывающим индексом, вниз – с возрастающим. Результат будет один и тот же. Например, для системы с дифференциальным уравнением 5-го порядка характеристическое уравнение будет иметь вид

а матрица Гурвица выглядит следующим образом:

Врезультате для уравнения 5-й степени условия Гурвица сводятся

кдвум неравенствам:

a3a4 a2a5 0;

(a3a4 a2a5 )(a1a2 a0a3) (a1a4 a0a5 )2 0.

Аналогичные условия можно получить и для других порядков: n 4 a1(a2a3 a1a4 ) a0a32 0 ;

n 3 (a1a2 a0a3) 0 .

Для более низких порядков n достаточно проверки только положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Система следящая, состоит из одного интегрирующего и двух инерционных звеньев

Получим характеристический полином замкнутой системы G( p) ,

являющийся, как известно, знаменателем передаточной функции замкнутой системы Ф( p). Для следящих систем

откуда

G( p) T1T2 p3 (T1 T2 ) p2 p K,

где

K K1K2K3.

Обозначим коэффициенты характеристического полинома: a3 T1T2; a2 T1 T2; a1 1; a0 K.

Запишем условие Гурвица для системы 3-го порядка:

(a1a2 a0a3) 0 ,

или, после подстановки коэффициентов:

(T1 T2 ) KT1T2.

Это есть условие устойчивости. Если неравенство превратить в равенство, возникает так называемое критическое состояние системы, когда она находится на грани между устойчивым и неустойчивым состояниями. Коэффициент усиления при этом называют критическим

Kкр .

Полученное выражение показывает, что в рассмотренной системе (одно интегрирующее звено и два инерционных) можно добиться больших значения путем уменьшения постоянных времени инерционных звеньев. А теперь подставим численные значения

Таким образом, при заданных параметрах рассматриваемая система неустойчива, так как ее коэффициент усиления равен 500, что больше

критического Kкр 105.Систему можно сделать устойчивой, либо

уменьшив усиление примерно в 5 раз, либо уменьшив одну или обе постоянные времени T1,T2.

Пример 2. Система из трех инерционных звеньев (рис. 1)

Подставив коэффициенты в условие Гурвица для уравнений третьей степени, для критического коэффициента усиления получаем

Из этого следует, что в данной системе критический коэффициент усиления зависит не от абсолютных значений постоянных времени, а только от их отношений. Например, если бы те же числа постоянных времени были в размерности не секунды, а миллиили микросекунды, то с точки зрения устойчивости ничего бы не изменилось.

Подсчитаем Kкр для данных значений параметров системы

Kкр 2 0, 05 0, 01 20 0, 2 5 100 127, 26.

9